Équations différentielles, sujet 2. D'après sujet Bac S, Métropole, septembre 2007
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Spécialité mathématiques - Travailler sur des sujets du bac
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Énoncé
On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur
:

![]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m1.png)

1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E0).
2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur
et telles que f(x) = g (x) cos x.
Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E0).
![]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m3.png)
Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E0).
3. Déterminer la solution f de (E) telle que f (0) = 0.
La bonne méthode
1. Il s'agit d'une question de cours.
2. Il faut procéder avec méthode et ne pas oublier que
.

3. On utilise la condition initiale proposée.
Corrigé
1. L'ensemble des fonctions solution de l'équation différentielle
est l'ensemble des fonctions définies sur
par
,
.




2. Quel que soit
,
. Donc, pour tout
on a :

Ainsi, la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si
.
Or
pour tout
, Donc f est solution de (E) si et seulement si pour tout
,
, si et seulement si g est solution de (E0).
![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m8.png)

![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m10.png)

Ainsi, la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si

Or

![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m14.png)
![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m15.png)

3. On connaît la forme générale des solutions de (E) : ce sont les fonctions définies sur
par
,
. Donc il existe
, tel que
. Or
.
Donc f est la fonction définie par
.
![]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m17.png)





Donc f est la fonction définie par

Corrigé
1. L'ensemble des fonctions solution de l'équation différentielle
est l'ensemble des fonctions définies sur
par
,
.




2. Quel que soit
,
. Donc, pour tout
on a :

Ainsi, la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si
.
Or
pour tout
, Donc f est solution de (E) si et seulement si pour tout
,
, si et seulement si g est solution de (E0).
![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m8.png)

![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m10.png)

Ainsi, la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si

Or

![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m14.png)
![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m15.png)

3. On connaît la forme générale des solutions de (E) : ce sont les fonctions définies sur
par
,
. Donc il existe
, tel que
. Or
.
Donc f est la fonction définie par
.
![]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m17.png)





Donc f est la fonction définie par

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