Équations différentielles, sujet 2. D'après sujet Bac S, Métropole, septembre 2007

Énoncé

On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur $]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[$ :
$\left\{\begin{matrix}(E):{y}'+(1+\mathrm{tan}\: x)\: y= \mathrm{cos}\: x\\(E_{0}):{y}'+\: y= 1\end{matrix}\right.$

1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E₀).

2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur $]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[$ et telles que f(x) = g (x) cos x.
Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E₀).

3. Déterminer la solution f de (E) telle que f (0) = 0.

La bonne méthode

1. Il s'agit d'une question de cours.

2. Il faut procéder avec méthode et ne pas oublier que $\mathrm{tan}\: x = \frac{\mathrm{sin}\: x}{\mathrm{cos}\: x}$ .

3. On utilise la condition initiale proposée.

Voir le corrigé

Corrigé

1. L'ensemble des fonctions solution de l'équation différentielle {y}' + y= 1

est l'ensemble des fonctions définies sur Ensemble R

par $x \mapsto K\: \mathrm{e}^{-x}+\: 1$ , $k\in \mathbb{R}$ .

2. Quel que soit $x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[$ , ${f}'(x) = {g}'(x)\: \mathrm{cos}\: x\: -\: g(x)\: \mathrm{sin}\: x$ . Donc, pour tout $x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[$ on a :
${f}'(x)+(1+\: \mathrm{tan}\: x)\: f(x)= {g}'(x)\: \mathrm{cos}\: x\: -\: g(x)\: \mathrm{sin}\: x\: +\: g(x)\: \mathrm{cos}\: x\: +\: g(x)\frac{\mathrm{cos}\: x\: \mathrm{sin}\: x}{\mathrm{cos}\: x}= \left ( {g}'(x)\: + g(x)\right )\: \mathrm{cos}\: x$
Ainsi, la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si ${f}'(x)\: +\: (1\: +\: \mathrm{tan}\: x)\: f(x)\: -\: \mathrm{cos}\: x\: = 0\: \Leftrightarrow \: \left ( {g}'(x)\: +\: g(x)\: -\: 1 \right )\: \mathrm{cos}\: x= 0$ .
Or $\mathrm{cos}\: x\neq 0$ pour tout $x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[$ , Donc f est solution de (E) si et seulement si pour tout $x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[$ , ${g}'(x)\: +\: g(x)\: -1\: = 0\: \Leftrightarrow \: {g}'(x)\: +\: g(x)\: = 1$ , si et seulement si g est solution de (E₀).

3. On connaît la forme générale des solutions de (E) : ce sont les fonctions définies sur $]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[$ par $x \mapsto \left ( K\: \mathrm{e}^{-x}\: +\: 1 \right )\: \mathrm{cos}\: x$ , $k\in \mathbb{R}$ . Donc il existe $k\in \mathbb{R}$ , tel que $f (x)\: = (K\, \mathrm{e}^{-x}\: +\: 1)\, \mathrm{cos}\: x$ . Or $f(0)= \left ( K\: \mathrm{e}^{0}+\: 1 \right )\: \mathrm{cos}\: 0\: = 0\: \Leftrightarrow \: K\: +\: 1\: = 0\: \Leftrightarrow \: K\: = -1$ .
Donc f est la fonction définie par $f(x)= \left ( 1\: -\: \mathrm{e}^{-x} \right )\mathrm{cos}\: x$ .