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Spécialité mathématiques - Travailler sur des sujets du bac
Primitives. D'après sujet Bac S, Centres Étrangers, juin 2000
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Énoncé
On considère la fonction f définie sur
par f (x) = e−x ln (e2x − 1). On cherche l'ensemble des primitives de f sur
. On peut utiliser l'intégration par parties. L'énoncé propose une autre méthode qui, en fait, n'est différente qu'en apparence.
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m1.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m2.png)
1. Démontrer que la fonction f est solution de l'équation différentielle
.
![{y}'+\: y= \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m3.png)
2. Démontrer que quel que soit
,
.
![x\in \mathbb{R}^{*}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m4.png)
![\frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}= \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m5.png)
3. Déduire des questions précédentes l'ensemble des primitives de la fonction f sur
.
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m6.png)
La bonne méthode
1. Il s'agit de démontrer que quel que soit x > 0,
.
![{f}'(x)\: +\: f(x)= \frac{2\: \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m7.png)
2. Le plus simple est de montrer que l'expression de droite est égale à l'expression de gauche. On peut également effectuer la différence des deux expressions et montrer que celle-ci est nulle.
3. Toute primitive de la dérivée d'une fonction est… Par ailleurs, une primitive d'une fonction s'écrivant sous la forme
est ln |u|.
![\frac{{u}'}{u}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m8.png)
Corrigé
1. La fonction
est clairement dérivable sur
et à valeurs dans
, intervalle sur lequel la fonction logarithme népérien est dérivable. On en déduit que
est dérivable sur
. Par ailleurs, la fonction
est dérivable sur
donc sur
. Ainsi, par produit de deux fonctions dérivables sur le même intervalle, f est dérivable sur cet intervalle. Pour tout
,
. On a donc pour tout
,
.
![x \mapsto \mathrm{e}^{2x}- 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m9.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m10.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m11.png)
![x \mapsto \mathrm{ln}(\mathrm{e}^{2x}- 1)](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m12.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m13.png)
![x \mapsto \mathrm{e}^{-x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m14.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/mr.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m15.png)
![x\in \: ]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m16.png)
![{f}'(x)= -\mathrm{e}^{-x}\: \mathrm{ln}(\mathrm{e}^{2x}-1)+\mathrm{e}^{-x}\frac{2\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}= -f(x)+\frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m17.png)
![x\in \: ]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m18.png)
![{f}'(x)+f(x)= \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m19.png)
2. Quel que soit
,
.
![x\in \mathbb{R}^{*}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m20.png)
![\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}= \frac{\mathrm{e}^{x}\left ( \mathrm{e}^{x}+1 \right )-\mathrm{e}^{x}\left ( \mathrm{e}^{x}-1 \right )}{\left ( \mathrm{e}^{x}-1 \right )\left ( \mathrm{e}^{x}+1 \right )}= \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m21.png)
3. On note F une primitive quelconque de f. Il est clair qu'une primitive de
est f. Une primitive de
est
. En primitivant l'équation différentielle du 1., on obtient que pour tout
,
. On a donc
.
L'ensemble des primitives de f sur l'intervalle
est l'ensemble des fonctions Fk définies sur
par Fk (x) = F(x) + k, où k décrit
.
![{f}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m22.png)
![x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m23.png)
![x \mapsto \mathrm{ln}\left | \mathrm{e}^{x}-1 \right |](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m24.png)
![x\in \: ]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m25.png)
![f(x)+\: F(x)\: = \mathrm{ln}\left ( \mathrm{e}^{x}-1 \right )-\: \mathrm{ln}\left ( \mathrm{e}^{x}+1 \right )= \mathrm{ln}\left ( \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m26.png)
![F(x)= -\mathrm{e}^{-x}\: \mathrm{ln}\left ( \mathrm{e}^{2x}-1 \right )\: +\: \mathrm{ln}\left ( \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m27.png)
L'ensemble des primitives de f sur l'intervalle
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m28.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m29.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/mr.png)
Corrigé
1. La fonction
est clairement dérivable sur
et à valeurs dans
, intervalle sur lequel la fonction logarithme népérien est dérivable. On en déduit que
est dérivable sur
. Par ailleurs, la fonction
est dérivable sur
donc sur
. Ainsi, par produit de deux fonctions dérivables sur le même intervalle, f est dérivable sur cet intervalle. Pour tout
,
. On a donc pour tout
,
.
![x \mapsto \mathrm{e}^{2x}- 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m9.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m10.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m11.png)
![x \mapsto \mathrm{ln}(\mathrm{e}^{2x}- 1)](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m12.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m13.png)
![x \mapsto \mathrm{e}^{-x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m14.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/mr.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m15.png)
![x\in \: ]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m16.png)
![{f}'(x)= -\mathrm{e}^{-x}\: \mathrm{ln}(\mathrm{e}^{2x}-1)+\mathrm{e}^{-x}\frac{2\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}= -f(x)+\frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m17.png)
![x\in \: ]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m18.png)
![{f}'(x)+f(x)= \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m19.png)
2. Quel que soit
,
.
![x\in \mathbb{R}^{*}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m20.png)
![\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}= \frac{\mathrm{e}^{x}\left ( \mathrm{e}^{x}+1 \right )-\mathrm{e}^{x}\left ( \mathrm{e}^{x}-1 \right )}{\left ( \mathrm{e}^{x}-1 \right )\left ( \mathrm{e}^{x}+1 \right )}= \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m21.png)
3. On note F une primitive quelconque de f. Il est clair qu'une primitive de
est f. Une primitive de
est
. En primitivant l'équation différentielle du 1., on obtient que pour tout
,
. On a donc
.
L'ensemble des primitives de f sur l'intervalle
est l'ensemble des fonctions Fk définies sur
par Fk (x) = F(x) + k, où k décrit
.
![{f}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m22.png)
![x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m23.png)
![x \mapsto \mathrm{ln}\left | \mathrm{e}^{x}-1 \right |](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m24.png)
![x\in \: ]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m25.png)
![f(x)+\: F(x)\: = \mathrm{ln}\left ( \mathrm{e}^{x}-1 \right )-\: \mathrm{ln}\left ( \mathrm{e}^{x}+1 \right )= \mathrm{ln}\left ( \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m26.png)
![F(x)= -\mathrm{e}^{-x}\: \mathrm{ln}\left ( \mathrm{e}^{2x}-1 \right )\: +\: \mathrm{ln}\left ( \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m27.png)
L'ensemble des primitives de f sur l'intervalle
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m28.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m29.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/mr.png)
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