Primitives. D'après sujet Bac S, Centres Étrangers, juin 2000

Énoncé

On considère la fonction f définie sur $]0\: ;\: +\infty [$ par f (x) = e^−x ln (e^2x − 1). On cherche l'ensemble des primitives de f sur $]0\: ;\: +\infty [$ . On peut utiliser l'intégration par parties. L'énoncé propose une autre méthode qui, en fait, n'est différente qu'en apparence.

1. Démontrer que la fonction f est solution de l'équation différentielle ${y}'+\: y= \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}$ .

2. Démontrer que quel que soit $x\in \mathbb{R}^{*}$ , $\frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}= \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$ .

3. Déduire des questions précédentes l'ensemble des primitives de la fonction f sur $]0\: ;\: +\infty [$ .

La bonne méthode

1. Il s'agit de démontrer que quel que soit x > 0, ${f}'(x)\: +\: f(x)= \frac{2\: \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}$ .

2. Le plus simple est de montrer que l'expression de droite est égale à l'expression de gauche. On peut également effectuer la différence des deux expressions et montrer que celle-ci est nulle.

3. Toute primitive de la dérivée d'une fonction est… Par ailleurs, une primitive d'une fonction s'écrivant sous la forme $\frac{{u}'}{u}$ est ln |u|.

Voir le corrigé

Corrigé

1. La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{2x}- 1$ est clairement dérivable sur $]0\: ;\: +\infty [$ et à valeurs dans $]0\: ;\: +\infty [$ , intervalle sur lequel la fonction logarithme népérien est dérivable. On en déduit que $x \mapsto \mathrm{ln}(\mathrm{e}^{2x}- 1)$ est dérivable sur $]0\: ;\: +\infty [$ . Par ailleurs, la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ est dérivable sur Ensemble R

donc sur $]0\: ;\: +\infty [$ . Ainsi, par produit de deux fonctions dérivables sur le même intervalle, f est dérivable sur cet intervalle. Pour tout $x\in \: ]0\: ;\: +\infty [$ , ${f}'(x)= -\mathrm{e}^{-x}\: \mathrm{ln}(\mathrm{e}^{2x}-1)+\mathrm{e}^{-x}\frac{2\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}= -f(x)+\frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}$ . On a donc pour tout $x\in \: ]0\: ;\: +\infty [$ , ${f}'(x)+f(x)= \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}$ .

2. Quel que soit $x\in \mathbb{R}^{*}$ , $\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}= \frac{\mathrm{e}^{x}\left ( \mathrm{e}^{x}+1 \right )-\mathrm{e}^{x}\left ( \mathrm{e}^{x}-1 \right )}{\left ( \mathrm{e}^{x}-1 \right )\left ( \mathrm{e}^{x}+1 \right )}= \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-1}$ .

3. On note F une primitive quelconque de f. Il est clair qu'une primitive de {f}'

est f. Une primitive de $x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}$ est $x \mapsto \mathrm{ln}\left | \mathrm{e}^{x}-1 \right |$ . En primitivant l'équation différentielle du 1., on obtient que pour tout $x\in \: ]0\: ;\: +\infty [$ , $f(x)+\: F(x)\: = \mathrm{ln}\left ( \mathrm{e}^{x}-1 \right )-\: \mathrm{ln}\left ( \mathrm{e}^{x}+1 \right )= \mathrm{ln}\left ( \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1} \right )$ . On a donc $F(x)= -\mathrm{e}^{-x}\: \mathrm{ln}\left ( \mathrm{e}^{2x}-1 \right )\: +\: \mathrm{ln}\left ( \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1} \right )$ .
L'ensemble des primitives de f sur l'intervalle $]0\: ;\: +\infty [$ est l'ensemble des fonctions F_k définies sur $]0\: ;\: +\infty [$ par F_k (x) = F(x) + k, où k décrit Ensemble R