Énoncé
Partie A
On considère la fonction C définie sur l'intervalle [5 ; 60] par :
![C\left ( x \right )\: =\: \frac{\mathrm{e}^{0,1x}\: +\: 20}{x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m1.png)
![C\left ( x \right )\: =\: \frac{\mathrm{e}^{0,1x}\: +\: 20}{x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m1.png)
1. On désigne par
la dérivée de la fonction C.
Montrer que pour tout
,
.
![C{}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m2.png)
Montrer que pour tout
![x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m3.png)
![C{}'\left ( x \right )\: =\: \frac{0,1x\mathrm{e}^{0,1x}\: -\: \mathrm{e}^{0,1x}\: -\: 20}{x^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m4.png)
2.
On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par :
f(x) = 0,1x0,1x − e0,1x − 20
f(x) = 0,1x0,1x − e0,1x − 20
a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].
b. Monter que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [5 ; 60].
c. Donner un encadrement à l'unité de α.
d. En déduire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60].
3. En déduire le tableau de variations de C sur [5 ; 60].
4.
En utilisant la question précédente, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :
a. C(x) = 2.
b. C(x) = 5.
Partie B
Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec
.
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.
![x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m5.png)
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.
La bonne méthode un+1 = f(un).
PARTIE A
1. Utiliser la dérivée d'un quotient de deux fonctions.
2.
a. Dériver la fonction f et étudier son signe.
b. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
c. Utiliser la calculatrice.
d. Faire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60].
3. Remarquer que
.
![C{}'\left ( x \right )\: =\:\frac{f\left ( x \right )}{x^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m6.png)
4.
a. et b. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
PARTIE B
Utiliser les résultats de la partie A.Penser à rédiger une conclusion.
Corrigé
Partie A
1. La fonction C est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
avec u(x) = e0,1x + 20 et v(x) = x. On a
,
et
.
On a donc :
![C{}'\left ( x \right )\: =\: \frac{0,1\mathrm{e}^{0,1x}\: \times \: x\: -\: \left ( \mathrm{e}^{0,1x}\: +\: 20\: \times 1 \right )}{x^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m11.png)
![C{}'\left ( x \right )\: =\: \frac{0,1x\mathrm{e}^{0,1x}\: -\: \mathrm{e}^{0,1x}\: -\: 20}{x^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m12.png)
![C\left ( x \right )\: =\: \frac{\mathrm{e^{0,1x}}\: +\: 20}{x}\: =\:\frac{u\left ( x \right )}{v\left ( x \right )}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m7.png)
![u{}'\left ( x \right ) = 0,1\mathrm{e}^{0,1x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m8.png)
![v{}'\left ( x \right )\: =\: 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m9.png)
![C{}'\: =\: \frac{u{}'v\: -\: uv{}'}{v^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m10.png)
On a donc :
![C{}'\left ( x \right )\: =\: \frac{0,1\mathrm{e}^{0,1x}\: \times \: x\: -\: \left ( \mathrm{e}^{0,1x}\: +\: 20\: \times 1 \right )}{x^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m11.png)
![C{}'\left ( x \right )\: =\: \frac{0,1x\mathrm{e}^{0,1x}\: -\: \mathrm{e}^{0,1x}\: -\: 20}{x^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m12.png)
2.
a. La fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
f(x) = 0,1xe0,1x − e0,1x − 20 = u(x) × v(x) − e0,1x − 20, avec u(x) = 0,1x et v(x) = e0,1x. On a
,
et
.
On a donc :
![f{}'\left ( x \right )\: =\: 0,1e^{0,1x}\: +\: 0,1x\: \times \: 0,1\mathrm{e}^{0,1x}\: -\: 0,1\mathrm{e}^{0,1x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m16.png)
![f{}'\left ( x \right )\: =\: 0,01x\mathrm{e}^{0,1x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m17.png)
Pour tout
, 0,01x > 0 et e0,1x > 0. Donc
sur [5 ; 60]. Et la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].
f(x) = 0,1xe0,1x − e0,1x − 20 = u(x) × v(x) − e0,1x − 20, avec u(x) = 0,1x et v(x) = e0,1x. On a
![u{}'\left ( x \right )\: =\: 0,1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m13.png)
![v{}'\left ( x \right )\: =\: 0,1\mathrm{e}^{0,1x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m14.png)
![f{}'\left ( x \right )\: =\: \left ( u{}'v\: +\: uv{}' \right )\left ( x \right )\: -\: 0,1\mathrm{e}^{0,1x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m15.png)
On a donc :
![f{}'\left ( x \right )\: =\: 0,1e^{0,1x}\: +\: 0,1x\: \times \: 0,1\mathrm{e}^{0,1x}\: -\: 0,1\mathrm{e}^{0,1x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m16.png)
![f{}'\left ( x \right )\: =\: 0,01x\mathrm{e}^{0,1x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m17.png)
Pour tout
![x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m18.png)
![f{}'\left ( x \right )\: > \: 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m19.png)
b. La fonction f est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [5 ; 60].
et
. Donc f(5) < 0 < f(60)
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [5 ; 60].
![f\left ( 5 \right )\: \approx \: -21](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m20.png)
![f\left ( 60 \right )\: \approx \: 1997](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m21.png)
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [5 ; 60].
c. En utilisant la calculatrice, on obtient
et
. Donc 25 < α < 26.
![f\left ( 25 \right )\: \approx \: -1,7](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m22.png)
![f\left ( 26 \right )\: \approx \: 1,5](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m23.png)
d. Comme la fonction f est strictement croissante et que f(α) = 0, on a :
![]() |
3.
. Donc
est du signe de f(x).
![C{}'\:\left ( x \right ) =\: \frac{0,1xe^{0,1x}\: -\: e^{0,1x}\: -\: 20}{x^{2}}\: =\: \frac{f\left ( x \right )}{x^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m24.png)
![C{}'\:\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m25.png)
![]() |
On a
,
et
.
![C\left ( 5 \right )\: \approx \: 4,33](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m26.png)
![C\left ( \alpha \right )\: \approx \: 1,29](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m27.png)
![C\left ( 60 \right )\: \approx \: 7,06](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m28.png)
4.
a. La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement décroissante sur [5 ; α].
Or C(5) > 2 > C(α). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 2 admet une unique solution sur [5 ; α].
De même, la fonction C est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [α ; 60].
Or C(α) < 2 < C(60). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 2 admet une unique solution sur [α ; 60].
Par conséquent, l'équation C(x) = 2 admet deux solutions sur [5 ; 60].
Or C(5) > 2 > C(α). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 2 admet une unique solution sur [5 ; α].
De même, la fonction C est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [α ; 60].
Or C(α) < 2 < C(60). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 2 admet une unique solution sur [α ; 60].
Par conséquent, l'équation C(x) = 2 admet deux solutions sur [5 ; 60].
b. La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement décroissante sur [5 ; α]. Donc elle admet un maximum en 5 égal à C(5) < 5. Donc l'équation C(x) = 5. n'admet aucune solution sur [5 ; α].
La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [α ; 60].
Or C(α) < 5 < C(60). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 5 admet une unique solution sur [α ; 60].
Par conséquent, l'équation C(x) = 5 admet une unique solution sur [5 ; 60].
La fonction C est définie continue (car dérivable) strictement croissante sur [α ; 60].
Or C(α) < 5 < C(60). Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation C(x) = 5 admet une unique solution sur [α ; 60].
Par conséquent, l'équation C(x) = 5 admet une unique solution sur [5 ; 60].
Partie B
La fonction C admet un minimum en α, avec 25 < α < 26.Or
![C\left ( 25 \right )\: \approx \: 1,2873](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m29.png)
![C\left ( 26 \right )\: \approx \: 1,2871](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m30.png)