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Spécialité mathématiques - Travailler sur des sujets du bac
Compléments sur la dérivation
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Compléments sur la dérivation
Énoncé
On désigne par f la fonction définie sur
par :
.
![\mathbb{R}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m1.png)
![f\left ( x \right )\: =\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m2.png)
![]() |
1. Calculer les limites de la fonction f en
et en
.
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m3.png)
![-\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m4.png)
2. Déterminer la dérivée de la fonction f.
3. Étudier les variations de la fonction f sur
, puis dresser son tableau de variations.
![\mathbb{R}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m5.png)
4. On note
la fonction dérivée de
. Déterminer
.
![f{}''](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m6.png)
![f{}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m7.png)
![f{}''\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m8.png)
5.
a. Faire le tableau de signe de
.
![f{}''\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m9.png)
b. En déduire les coordonnées du point d'inflexion.
c. Donner la convexité de la fonction f sur
.
![\mathbb{R}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m10.png)
La bonne méthode
1. Développer pour obtenir
pour la limite en
.
![f\left ( x \right )\: =\: \frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}\:+\:\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m11.png)
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m12.png)
2. Utiliser la dérivée du produit de deux fonctions.
3. Étudier le signe de
en faisant un tableau de signes.
![f{}'\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m13.png)
4. Même technique que la question 2.
5.
a. Factoriser la dérivée seconde par e−2x.
b. Chercher les valeurs qui annulent
.
![f{}''\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m14.png)
c. Regarder le signe de
.
![f{}''\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m15.png)
Corrigé
1. On a
.
On sait que
et
donc
. De plus
.
Par conséquent,
.
On a
et
. Donc
.
![f\left ( x \right )\: =\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3\: =\: \frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}\: +\: \mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m16.png)
On sait que
![\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}\: =\: 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m17.png)
![\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 2x \right )\: =\: +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m18.png)
![\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}\: =\: 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m19.png)
![\lim_{x\rightarrow +\infty }\mathrm{e}^{-2x}\: =\:\lim_{x\rightarrow +\infty }\mathrm{e}^{x}\: =\: 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m20.png)
Par conséquent,
![\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )\: =\: 0\: +\: 0\: +\: 3\: =\:3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m21.png)
On a
![\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( 2x\: +\: 1 \right )\: =\: -\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m22.png)
![\lim_{x\rightarrow -\infty }\mathrm{e}^{-2x}\: =\: +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m23.png)
![\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left ( x \right )\: =\: -\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m24.png)
2. La fonction f est dérivable comme produit et somme de fonctions dérivables.
avec
et
. On a
,
et
.
Donc
.
![f\left ( x \right )\: =\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3\: =\:u\left ( x \right )\: \times \: v\left ( x \right )\: +\: 3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m25.png)
![u\left ( x \right )\: =\: 2x\: +\: 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m26.png)
![v\left ( x \right )\: =\:\mathrm{e}^{-2x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m27.png)
![u{}'\left ( x \right )\: =\: 2](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m28.png)
![v{}'\left ( x \right )\: =\: -2\mathrm{e}^{-2x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m29.png)
![f{}'\: =\: u{}'v\; +\; uv{}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m30.png)
Donc
![f{}'\left ( x \right )\: =\: 2\: \times \:\mathrm{e}^{-2x}\: +\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\times \left ( -2\mathrm{e}^{-2x} \right )\: =\: -4x\mathrm{e}^{-2x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m31.png)
3.
Comme e−2x > 0,
est du signe de –4x.
![f{}'\left (x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m32.png)
![]() |
4. La fonction
est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
avec
et
. On a
,
et
.
On a donc
.
![f{}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m33.png)
![f{}'\left ( x \right )\: =\: -4x\mathrm{e}^{-2x}\: =\: u\left ( x \right )\: \times \: v\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m34.png)
![u\left ( x \right )\: =\: -4x](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m35.png)
![v\left ( x \right )\: =\: \mathrm{e}^{-2x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m36.png)
![u{}'\left ( x \right )\: =\: -4](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m37.png)
![v{}'\left ( x \right )\: =\: -2\mathrm{e}^{-2x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m38.png)
![f{}''\: =\: u{}'v\: +\: uv{}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m39.png)
On a donc
![f{}''\left ( x \right )\: =\: -4\mathrm{e}^{-2x}\: -\: 4x\: \times \: \left ( -2\mathrm{e}^{-2x} \right )\: =\: \mathrm{e}^{-2x}\left ( -4\: +\: 8x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m40.png)
5.
a. Comme e−2x > 0,
est du signe de (–4 + 8x).
.
![f{}''\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m41.png)
![f{}''\left ( x \right )\: >\: 0\, \Leftrightarrow \, -4\: +\: 8x\: > \: 0\, \Leftrightarrow \, x\, > \, \frac{1}{2}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m42.png)
![]() |
b.
s'annule en changeant de signe en
, donc la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse
. On a
.
Le point d'inflexion a pour coordonnées
.
![f{}''](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m43.png)
![x\: =\: \frac{1}{2}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m44.png)
![x\: =\: \frac{1}{2}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m45.png)
![f\left ( \frac{1}{2} \right )\: =\: \left ( 2\: \times \: \frac{1}{2}\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2\times \frac{1}{2}}\: +\: 3\: =\: \frac{2}{\mathrm{e}}\: +\: 3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m46.png)
Le point d'inflexion a pour coordonnées
![\left ( \frac{1}{2}\: ;\: \frac{2}{\mathrm{e}}\: +3 \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m47.png)
c. La fonction f est concave sur l'intervalle
et convexe sur l'intervalle
.
![]-\infty \: ;\: \frac{1}{2}]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m48.png)
![[\frac{1}{2}\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m49.png)
Corrigé
1. On a
.
On sait que
et
donc
. De plus
.
Par conséquent,
.
On a
et
. Donc
.
![f\left ( x \right )\: =\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3\: =\: \frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}\: +\: \mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m16.png)
On sait que
![\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}\: =\: 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m17.png)
![\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 2x \right )\: =\: +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m18.png)
![\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}\: =\: 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m19.png)
![\lim_{x\rightarrow +\infty }\mathrm{e}^{-2x}\: =\:\lim_{x\rightarrow +\infty }\mathrm{e}^{x}\: =\: 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m20.png)
Par conséquent,
![\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )\: =\: 0\: +\: 0\: +\: 3\: =\:3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m21.png)
On a
![\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( 2x\: +\: 1 \right )\: =\: -\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m22.png)
![\lim_{x\rightarrow -\infty }\mathrm{e}^{-2x}\: =\: +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m23.png)
![\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left ( x \right )\: =\: -\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m24.png)
2. La fonction f est dérivable comme produit et somme de fonctions dérivables.
avec
et
. On a
,
et
.
Donc
.
![f\left ( x \right )\: =\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3\: =\:u\left ( x \right )\: \times \: v\left ( x \right )\: +\: 3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m25.png)
![u\left ( x \right )\: =\: 2x\: +\: 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m26.png)
![v\left ( x \right )\: =\:\mathrm{e}^{-2x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m27.png)
![u{}'\left ( x \right )\: =\: 2](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m28.png)
![v{}'\left ( x \right )\: =\: -2\mathrm{e}^{-2x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m29.png)
![f{}'\: =\: u{}'v\; +\; uv{}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m30.png)
Donc
![f{}'\left ( x \right )\: =\: 2\: \times \:\mathrm{e}^{-2x}\: +\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\times \left ( -2\mathrm{e}^{-2x} \right )\: =\: -4x\mathrm{e}^{-2x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m31.png)
3.
Comme e−2x > 0,
est du signe de –4x.
![f{}'\left (x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m32.png)
![]() |
4. La fonction
est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
avec
et
. On a
,
et
.
On a donc
.
![f{}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m33.png)
![f{}'\left ( x \right )\: =\: -4x\mathrm{e}^{-2x}\: =\: u\left ( x \right )\: \times \: v\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m34.png)
![u\left ( x \right )\: =\: -4x](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m35.png)
![v\left ( x \right )\: =\: \mathrm{e}^{-2x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m36.png)
![u{}'\left ( x \right )\: =\: -4](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m37.png)
![v{}'\left ( x \right )\: =\: -2\mathrm{e}^{-2x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m38.png)
![f{}''\: =\: u{}'v\: +\: uv{}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m39.png)
On a donc
![f{}''\left ( x \right )\: =\: -4\mathrm{e}^{-2x}\: -\: 4x\: \times \: \left ( -2\mathrm{e}^{-2x} \right )\: =\: \mathrm{e}^{-2x}\left ( -4\: +\: 8x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m40.png)
5.
a. Comme e−2x > 0,
est du signe de (–4 + 8x).
.
![f{}''\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m41.png)
![f{}''\left ( x \right )\: >\: 0\, \Leftrightarrow \, -4\: +\: 8x\: > \: 0\, \Leftrightarrow \, x\, > \, \frac{1}{2}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m42.png)
![]() |
b.
s'annule en changeant de signe en
, donc la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse
. On a
.
Le point d'inflexion a pour coordonnées
.
![f{}''](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m43.png)
![x\: =\: \frac{1}{2}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m44.png)
![x\: =\: \frac{1}{2}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m45.png)
![f\left ( \frac{1}{2} \right )\: =\: \left ( 2\: \times \: \frac{1}{2}\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2\times \frac{1}{2}}\: +\: 3\: =\: \frac{2}{\mathrm{e}}\: +\: 3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m46.png)
Le point d'inflexion a pour coordonnées
![\left ( \frac{1}{2}\: ;\: \frac{2}{\mathrm{e}}\: +3 \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m47.png)
c. La fonction f est concave sur l'intervalle
et convexe sur l'intervalle
.
![]-\infty \: ;\: \frac{1}{2}]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m48.png)
![[\frac{1}{2}\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m49.png)
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