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Spécialité mathématiques - Travailler sur des sujets du bac
Compléments sur la dérivation
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Énoncé
On désigne par f la fonction définie sur
par :
.


![]() |
1. Calculer les limites de la fonction f en
et en
.


2. Déterminer la dérivée de la fonction f.
3. Étudier les variations de la fonction f sur
, puis dresser son tableau de variations.

4. On note
la fonction dérivée de
. Déterminer
.



5.
a. Faire le tableau de signe de
.

b. En déduire les coordonnées du point d'inflexion.
c. Donner la convexité de la fonction f sur
.

La bonne méthode
1. Développer pour obtenir
pour la limite en
.


2. Utiliser la dérivée du produit de deux fonctions.
3. Étudier le signe de
en faisant un tableau de signes.

4. Même technique que la question 2.
5.
a. Factoriser la dérivée seconde par e−2x.
b. Chercher les valeurs qui annulent
.

c. Regarder le signe de
.

Corrigé
1. On a
.
On sait que
et
donc
. De plus
.
Par conséquent,
.
On a
et
. Donc
.

On sait que




Par conséquent,

On a



2. La fonction f est dérivable comme produit et somme de fonctions dérivables.
avec
et
. On a
,
et
.
Donc
.






Donc

3.
Comme e−2x > 0,
est du signe de –4x.

![]() |
4. La fonction
est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
avec
et
. On a
,
et
.
On a donc
.







On a donc

5.
a. Comme e−2x > 0,
est du signe de (–4 + 8x).
.


![]() |
b.
s'annule en changeant de signe en
, donc la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse
. On a
.
Le point d'inflexion a pour coordonnées
.




Le point d'inflexion a pour coordonnées

c. La fonction f est concave sur l'intervalle
et convexe sur l'intervalle
.
![]-\infty \: ;\: \frac{1}{2}]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m48.png)

Corrigé
1. On a
.
On sait que
et
donc
. De plus
.
Par conséquent,
.
On a
et
. Donc
.

On sait que




Par conséquent,

On a



2. La fonction f est dérivable comme produit et somme de fonctions dérivables.
avec
et
. On a
,
et
.
Donc
.






Donc

3.
Comme e−2x > 0,
est du signe de –4x.

![]() |
4. La fonction
est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
avec
et
. On a
,
et
.
On a donc
.







On a donc

5.
a. Comme e−2x > 0,
est du signe de (–4 + 8x).
.


![]() |
b.
s'annule en changeant de signe en
, donc la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse
. On a
.
Le point d'inflexion a pour coordonnées
.




Le point d'inflexion a pour coordonnées

c. La fonction f est concave sur l'intervalle
et convexe sur l'intervalle
.
![]-\infty \: ;\: \frac{1}{2}]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m48.png)

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