Fonction logarithme népérien. D'après sujet Bac S, Centres Étrangers, juin 2008

Énoncé

I. Restitution organisée des connaissances

Prérequis : On rappelle que $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}= +\infty$ .

1. Démontrer que $\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\mathrm{ln}\, x}{x}= 0$ .

2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, $\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\mathrm{ln}\, x}{x^{n}}= 0$ .

II. Étude d'une fonction f

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $]0\: ;\, +\infty [$ par $f(x)= x-\frac{\mathrm{ln}\, x}{x^{2}}$ .
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left ( \mathrm{O}\, ;\overrightarrow{i},\, \overrightarrow{j} \right )$ .

1. Soit u la fonction définie sur l'intervalle $]0\: ;\, +\infty [$ par u(x) = x³ − 1 + 2 lnx.

a. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle $]0\: ;\, +\infty [$ .

b. Calculer u(1) et en déduire le signe de u(x) pour x appartenant à l'intervalle $]0\: ;\, +\infty [$ .

2. Étude de la fonction f.

a. Déterminer les limites de f en 0 et en $+\infty$ .

b. Déterminer la fonction dérivée de f.

3. Éléments graphiques.

a. Démontrer que la droite (Δ) d'équation y = x est asymptote oblique à la courbe C.

b. Déterminer la position de C par rapport à la droite (Δ).

La bonne méthode

Partie I. 1. Privilégier la composition des limites.
Partie I. 2. Faire apparaître des limites connues sans faire apparaître une forme indéterminée.
Partie II. 1. a. On dérive la fonction et on examine le signe de ce que l'on vient d'obtenir avant toute manipulation algébrique.
Partie II. 1. b. On utilise la stricte monotonie de la fonction.
Partie II. 2. a. Lorsque l'on cherche des limites, on commence par regarder si les théorèmes généraux sur les opérations répondent. Si ce n'est pas le cas, si la forme est indéterminée, on transforme les écritures pour lever les indéterminations, en particulier en invoquant les croissances comparées des fonctions en jeu.
Partie II. 2. b. On dérive la fonction et on relit la partie II. 1.
Partie II. 3. a. En général, pour montrer que la droite d'équation y = ax + b est asymptote à une courbe, on effectue la différence f(x) −(ax + b) et on montre que cette différence tend vers 0.
Partie II. 3. b. On étudie le signe de l'expression f(x) −(ax + b).

Voir le corrigé

Corrigé

PARTIE I

1. Pour x > 0, $x\neq 1$ (ce qui est le cas au voisinage de $+\infty$ ), on a :
$\frac{\mathrm{ln}\, x}{x}= \frac{1}{\frac{x}{\mathrm{ln}\, x}}= \frac{1}{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ln}x}}{\mathrm{ln}\, x}}$ . Or $\lim_{x\rightarrow +\infty }\mathrm{ln}\, x= +\infty$ , donc $\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ln\, }x}}{{\mathrm{ln}}\, x}= \lim_{X\rightarrow +\infty }\frac{\mathrm{e}^{X}}{X}= +\infty$ . Par composition avec la fonction inverse, on obtient donc que $\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\mathrm{ln}\, x}{x}= 0$ .

2. Le résultat vient d'être établi pour n = 1. Quel que soit n supérieur ou égal

2, on a $\frac{\mathrm{ln}\, x}{x^{n}}= \frac{1}{x^{n-1}}\times \frac{\mathrm{ln}\, x}{x}$ . Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\mathrm{ln}\, x}{x}= 0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x^{n-1}}= 0$ , on a bien, par produit de limites, le résultat demandé.

PARTIE II

1. a. La fonction u est clairement dérivable sur $]0\, ;\, +\infty [$ , et pour tout x > 0, ${u}'(x)= 3x^{2}+\frac{2}{x}> 0$ comme somme de deux quantités strictement positives. On en déduit que u est strictement croissante sur $]0\, ;\, +\infty [$ .

b. On a u(1) = 0 et u strictement croissante. On en déduit le tableau suivant :

Donc u(x) est négatif sur ]0 ; 1[, positif sur $]1\, ;\, +\infty [$ .

2. a. On a $f(x)= x-\frac{1}{x^{2}}\times \mathrm{ln}\, x$ .
S'agissant de la limite en 0, on sait que $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x^{2}}= +\infty$ , $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\mathrm{ln}\, x= -\infty$ . Donc $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\mathrm{ln}\, x}{x^{2}}= -\infty$ . On en déduit que $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)= +\infty$ . (La droite d'équation x = 0 est asymptote à la courbe représentative de la fonction f.)
S'agissant de la limite en $+\infty$ , la partie I nous permet d'affirmer que $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\mathrm{ln}\, x}{x^{2}} = 0$ . On en déduit que $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)= +\infty$ .

b. La fonction f est à l'évidence dérivable sur $]0\, ;\, +\infty [$ , et pour tout x > 0, on a :
${f}'(x)= 1-\frac{\frac{1}{x}\times x^{2}-(\mathrm{ln}\, x)\times 2x}{x^{4}}= 1-\frac{1-2\, \mathrm{ln}\, x}{x^{3}}= \frac{u(x)}{x^{3}}$ . Le signe de {f}'(x)

sur $]0\, ;\, +\infty [$ est clairement celui de u(x).

3. a. Quel que soit x > 0, $f(x)-x= -\frac{\mathrm{ln}\, x}{x^{2}}$ . On a vu que $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\mathrm{ln}\, x}{x^{2}}= 0$ , donc $\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( f(x)-x \right )= 0$ , ce qui suffit pour prouver que la droite d'équation y = x est asymptote oblique à la courbe représentative de f au voisinage de $+\infty$ .

b. Sur $]0\, ;\, +\infty [$ , le signe de f(x) − x est l'opposé de celui de $\frac{\mathrm{ln}\, x}{x^{2}}$ , donc l'opposé de celui de lnx. On en déduit que la courbe représentative de f coupe son asymptote au point de coordonnées (1 ; 1) et est située :

• au-dessus de son asymptote sur ]0 ; 1[ ;

• en dessous de son asymptote sur $]1\, ;\, +\infty [$ .