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Spécialité mathématiques - Travailler sur des sujets du bac
Limites des fonctions, sujet 1
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Limites des fonctions, sujet 1
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Limites des fonctions, sujet 1
Énoncé
PARTIE A
Soit f la fonction définie sur
par f (x) = x e1−x.
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/mr.png)
1. Vérifier que pour tout réel x, on a
.
![f(x)= \mathrm{e}\times \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m1.png)
2. Déterminer la limite de la fonction f en
.
![-\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m2.png)
3. Déterminer la limite de la fonction f en
. Interpréter graphiquement cette limite.
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m3.png)
4. Déterminer la dérivée de la fonction f.
5. Étudier les variations de la fonction f sur
, puis dresser le tableau de variations.
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/mr.png)
PARTIE B
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions gn et hn définies sur
par :
gn(x) = 1 + x + x2 + … + xn et hn (x) = 1 + 2x + 3x2 + … + nxn−1.
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/mr.png)
gn(x) = 1 + x + x2 + … + xn et hn (x) = 1 + 2x + 3x2 + … + nxn−1.
1. Vérifier que pour tout réel x, (1 − x) gn (x) = 1 − xn+1.
On obtient alors, pour tout réel
:
.
On obtient alors, pour tout réel
![x\neq 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m4.png)
![g_{x}(x)= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m5.png)
2. Comparer les fonctions hn et
,
étant la dérivée de gn. En déduire que, pour tout réel
:
.
![{g}'_{n}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m6.png)
![{g}'_{n}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m7.png)
![x\neq 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m8.png)
![h_{n}(x)= \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m9.png)
3. Soit Sn = f (1) + f (2) + … + f (n), f étant la fonction définie dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de Sn puis sa limite quand n tend vers
.
En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de Sn puis sa limite quand n tend vers
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m10.png)
La bonne méthode
PARTIE A
1. Utiliser les règles de calcul de la fonction exponentielle.
2. Limite par produit et composition de fonctions.
3. Utiliser le résultat de la question 1, sachant que
.
![\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{e^{x}}{x}= +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m11.png)
4. Dériver un produit de fonctions.
5. Étudier le signe de la dérivée et faire le tableau de variations.
PARTIE B
1. Remplacer gn(x) et développer.
2. Utiliser la dérivée du quotient de deux fonctions. Remarquer une égalité grâce au résultat du 1.
3. Introduire dans Sn la fonction f (x) = x e1−x, puis remarquer l'égalité avec hn(e−1). Enfin, utiliser
.
![\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}= +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m12.png)
Corrigé
PARTIE A
1.
.
![f(x) = x\: \mathrm{e}^{1-x}= x\times \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{x}}= \mathrm{e}\times \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m13.png)
2.
, donc
, par composition. Puis, par produit, on obtient que
.
Donc
.
![\lim_{x\rightarrow -\infty }(1-x)\, = +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m14.png)
![\lim_{x\rightarrow -\infty }\mathrm{e}^{1-x}= +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m15.png)
![\lim_{x\rightarrow -\infty }x\, \mathrm{e}^{1-x}= -\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m16.png)
Donc
![\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m17.png)
3. On sait que
, donc
. D'où
.
Par conséquent, la courbe représentant la fonction f admet la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale en
.
![\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}= +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m18.png)
![\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}= 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m19.png)
![\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)= 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m20.png)
Par conséquent, la courbe représentant la fonction f admet la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale en
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m21.png)
4. f (x) = x e1−x = u (x) ×v (x) avec u (x) = x et v (x) = e1−x. On a
,
et
.
Donc
.
![{u}'(x) = 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m22.png)
![{v}'(x) = -\mathrm{e}^{1-x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m23.png)
![{f}'= {u}'v+u{v}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m24.png)
Donc
![{f}'(x)= 1\times\mathrm{ e}^{1-x}+x\times \left ( \mathrm{e}^{1-x} \right )= (1-x)\mathrm{e}^{1-x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m25.png)
5. e1−x > 0 donc
est du même signe que 1 − x.
On a donc le tableau de variations suivant :
![{f}'(x)](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m26.png)
On a donc le tableau de variations suivant :
![]() |
PARTIE B
1. (1 − x) gn (x) = (1 − x)(1 + x + x2 + … + xn)
(1 − x) gn(x) = 1 + x + x2 + … + xn − x −x2 −x3 − … − xn+1
(1 − x) gn (x) = 1 −xn+1.
On obtient alors, pour tout réel
:
.
(1 − x) gn(x) = 1 + x + x2 + … + xn − x −x2 −x3 − … − xn+1
(1 − x) gn (x) = 1 −xn+1.
On obtient alors, pour tout réel
![x\neq 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m27.png)
![g_{n}(x)= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m28.png)
2. On a
.
Or
avec u(x) = 1 − xn+1 et v (x) = 1 − x. On a
,
et
.
Donc![h_{n}(x)= {g}'_{n}(x)= \frac{-(n+1)x^{n}\times (1-x)-\left ( 1-x^{n+1} \right )\times (-1)}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m34.png)
![h_{n}(x)= \frac{-(n+1)x^{n}+(n+1)x^{n+1}+1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m35.png)
![h_{n}(x)= \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m36.png)
![{g}'_{n}(x)= 0+1+2x+...+nx^{n-1}= h_{n}(x)](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m29.png)
Or
![g_{n}(x)= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}= \frac{u(x)}{v(x)}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m30.png)
![{u}'(x)= -(n+1)x^{n}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m31.png)
![{v}'(x)= -1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m32.png)
![g_{n}= \frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m33.png)
Donc
![h_{n}(x)= {g}'_{n}(x)= \frac{-(n+1)x^{n}\times (1-x)-\left ( 1-x^{n+1} \right )\times (-1)}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m34.png)
![h_{n}(x)= \frac{-(n+1)x^{n}+(n+1)x^{n+1}+1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m35.png)
![h_{n}(x)= \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m36.png)
3. Sn = 1e1−1 + 2e1−2 + … + ne1−n
![S_{n}= 1+2\mathrm{e}^{-1}+...+n(e^{-1})^{n-1}= h_{n}(\mathrm{e}^{-1})](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m37.png)
Or![h_{n}(\mathrm{e}^{-1})= \frac{n(\mathrm{e}^{-1})^{n+1}-(n+1)(\mathrm{e}^{-1})^{n}+1}{(1-\mathrm{e}^{-1})^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m38.png)
Donc
.
On a
. Or
et
. Donc
.
De même,
.
On a donc
.
![S_{n}= 1+2\mathrm{e}^{-1}+...+n(e^{-1})^{n-1}= h_{n}(\mathrm{e}^{-1})](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m37.png)
Or
![h_{n}(\mathrm{e}^{-1})= \frac{n(\mathrm{e}^{-1})^{n+1}-(n+1)(\mathrm{e}^{-1})^{n}+1}{(1-\mathrm{e}^{-1})^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m38.png)
Donc
![S_{n}= \frac{\frac{n}{\mathrm{e}^{n+1}}-\frac{n+1}{\mathrm{e}^{n}}+1}{\left ( 1-\frac{1}{\mathrm{e}} \right )^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m39.png)
On a
![\frac{n}{\mathrm{e}^{n+1}}= \frac{n}{n+1}\times \frac{n+1}{\mathrm{e}^{n+1}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m40.png)
![\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{n+1}= 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m41.png)
![\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n+1}{\mathrm{e}^{n+1}}= \lim_{N\rightarrow +\infty }\frac{N}{\mathrm{e}^{N}}=0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m42.png)
![\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n+1}}= 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m43.png)
De même,
![\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n+1}{\mathrm{e}^{n}}= \lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( \frac{n}{\mathrm{e}^{n}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{n}} \right )=0+0+= 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m44.png)
On a donc
![\lim_{n\rightarrow +\infty }S_{n}= \frac{1}{\left ( 1-\frac{1}{\mathrm{e}} \right )^{2}}= \frac{1}{\left ( \frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}}^{} \right )^{2}}= \frac{\mathrm{e}^{2}}{(\mathrm{e}-1)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m45.png)
Corrigé
PARTIE A
1.
.
![f(x) = x\: \mathrm{e}^{1-x}= x\times \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{x}}= \mathrm{e}\times \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m13.png)
2.
, donc
, par composition. Puis, par produit, on obtient que
.
Donc
.
![\lim_{x\rightarrow -\infty }(1-x)\, = +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m14.png)
![\lim_{x\rightarrow -\infty }\mathrm{e}^{1-x}= +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m15.png)
![\lim_{x\rightarrow -\infty }x\, \mathrm{e}^{1-x}= -\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m16.png)
Donc
![\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m17.png)
3. On sait que
, donc
. D'où
.
Par conséquent, la courbe représentant la fonction f admet la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale en
.
![\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}= +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m18.png)
![\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}= 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m19.png)
![\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)= 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m20.png)
Par conséquent, la courbe représentant la fonction f admet la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale en
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m21.png)
4. f (x) = x e1−x = u (x) ×v (x) avec u (x) = x et v (x) = e1−x. On a
,
et
.
Donc
.
![{u}'(x) = 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m22.png)
![{v}'(x) = -\mathrm{e}^{1-x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m23.png)
![{f}'= {u}'v+u{v}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m24.png)
Donc
![{f}'(x)= 1\times\mathrm{ e}^{1-x}+x\times \left ( \mathrm{e}^{1-x} \right )= (1-x)\mathrm{e}^{1-x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m25.png)
5. e1−x > 0 donc
est du même signe que 1 − x.
On a donc le tableau de variations suivant :
![{f}'(x)](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m26.png)
On a donc le tableau de variations suivant :
![]() |
PARTIE B
1. (1 − x) gn (x) = (1 − x)(1 + x + x2 + … + xn)
(1 − x) gn(x) = 1 + x + x2 + … + xn − x −x2 −x3 − … − xn+1
(1 − x) gn (x) = 1 −xn+1.
On obtient alors, pour tout réel
:
.
(1 − x) gn(x) = 1 + x + x2 + … + xn − x −x2 −x3 − … − xn+1
(1 − x) gn (x) = 1 −xn+1.
On obtient alors, pour tout réel
![x\neq 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m27.png)
![g_{n}(x)= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m28.png)
2. On a
.
Or
avec u(x) = 1 − xn+1 et v (x) = 1 − x. On a
,
et
.
Donc![h_{n}(x)= {g}'_{n}(x)= \frac{-(n+1)x^{n}\times (1-x)-\left ( 1-x^{n+1} \right )\times (-1)}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m34.png)
![h_{n}(x)= \frac{-(n+1)x^{n}+(n+1)x^{n+1}+1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m35.png)
![h_{n}(x)= \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m36.png)
![{g}'_{n}(x)= 0+1+2x+...+nx^{n-1}= h_{n}(x)](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m29.png)
Or
![g_{n}(x)= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}= \frac{u(x)}{v(x)}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m30.png)
![{u}'(x)= -(n+1)x^{n}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m31.png)
![{v}'(x)= -1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m32.png)
![g_{n}= \frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m33.png)
Donc
![h_{n}(x)= {g}'_{n}(x)= \frac{-(n+1)x^{n}\times (1-x)-\left ( 1-x^{n+1} \right )\times (-1)}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m34.png)
![h_{n}(x)= \frac{-(n+1)x^{n}+(n+1)x^{n+1}+1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m35.png)
![h_{n}(x)= \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m36.png)
3. Sn = 1e1−1 + 2e1−2 + … + ne1−n
![S_{n}= 1+2\mathrm{e}^{-1}+...+n(e^{-1})^{n-1}= h_{n}(\mathrm{e}^{-1})](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m37.png)
Or![h_{n}(\mathrm{e}^{-1})= \frac{n(\mathrm{e}^{-1})^{n+1}-(n+1)(\mathrm{e}^{-1})^{n}+1}{(1-\mathrm{e}^{-1})^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m38.png)
Donc
.
On a
. Or
et
. Donc
.
De même,
.
On a donc
.
![S_{n}= 1+2\mathrm{e}^{-1}+...+n(e^{-1})^{n-1}= h_{n}(\mathrm{e}^{-1})](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m37.png)
Or
![h_{n}(\mathrm{e}^{-1})= \frac{n(\mathrm{e}^{-1})^{n+1}-(n+1)(\mathrm{e}^{-1})^{n}+1}{(1-\mathrm{e}^{-1})^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m38.png)
Donc
![S_{n}= \frac{\frac{n}{\mathrm{e}^{n+1}}-\frac{n+1}{\mathrm{e}^{n}}+1}{\left ( 1-\frac{1}{\mathrm{e}} \right )^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m39.png)
On a
![\frac{n}{\mathrm{e}^{n+1}}= \frac{n}{n+1}\times \frac{n+1}{\mathrm{e}^{n+1}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m40.png)
![\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{n+1}= 1](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m41.png)
![\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n+1}{\mathrm{e}^{n+1}}= \lim_{N\rightarrow +\infty }\frac{N}{\mathrm{e}^{N}}=0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m42.png)
![\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{\mathrm{e}^{n+1}}= 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m43.png)
De même,
![\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n+1}{\mathrm{e}^{n}}= \lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( \frac{n}{\mathrm{e}^{n}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{n}} \right )=0+0+= 0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m44.png)
On a donc
![\lim_{n\rightarrow +\infty }S_{n}= \frac{1}{\left ( 1-\frac{1}{\mathrm{e}} \right )^{2}}= \frac{1}{\left ( \frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}}^{} \right )^{2}}= \frac{\mathrm{e}^{2}}{(\mathrm{e}-1)^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde08_m45.png)
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Limites des fonctions, sujet 1
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