Sujet 0, épreuve commune, exercice 2, 2019

Exercice 2 (5 points)

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.
Dans le repère orthonormé d'unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe C_f représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [− 1 ;2] par
f(x) = (−x + 2)e^x.

Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe C_f. On nomme L la longueur de la plaque rectangulaire et l sa largeur.

On note f' la fonction dérivée de f.

a. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [−1 ; 2], f'(x) = (−x + 1)e^x.

b. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur [−1 ; 2].

2. La longueur L de la plaque rectangulaire est 90 cm. Trouver sa largeur l exacte en cm.

Voir le corrigé

Corrigé

Exercice 2 :

La fonction exponentielle est dérivable sur Ensemble R

et sa fonction dérivée est elle-même.
Lorsqu'une fonction f est de la forme u× v, avec u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors f est dérivable sur I et :
f' = u' × v + v' × u.
Le sens de variation d'une fonction f est lié au signe de la fonction dérivée f'.
f' est positive sur I si et seulement si f est croissante sur I.
f' est négative sur si I et seulement si f est décroissante sur I.

a. f est dérivable sur [−1 ; 2] en tant que produit d'une fonction affine et de la fonction exponentielle.
Pour tout x de [−1 ; 2],f '(x) = (−1) × e^x + e^x × (−x + 2)
L'expression est une somme de deux termes ayant un facteur commun, e^x. On factorise donc par e^x :
f'(x) = e^x[(−1) + (−x + 2)]
f'(x) = e^x(−x + 1)

b. Pour tout x de [−1 ; 2], e^x > 0.
−x + 1 = 0 si et seulement si x = 1. Et −x + 1 est du style −mx + p avec m = −1 < 0 donc :

Ainsi f strictement croissante sur [−1 ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; 2].
De plus :
$f(-1)=(-(-1)+2)\times \mathrm{e}^{-1}=3\mathrm{e}^{-1}=\frac{3}{\mathrm{e}}\approx 1,104$
$f(1)=(-1+2)\times \mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\approx 2,718$
f(2) = (−2 + 2) × e² = 0.
Voici le tableau de variations de la fonction f :

2. Une unité représente 30 cm. Or f(1) = e donc la largeur l de la plaque rectangulaire est 30 × e cm (soit environ 81,55 cm).
En effet, comme f est dérivable sur [−1 ; 2] et f' s'annule en changeant de signe en x = 1, alors f admet un maximum atteint lorsque x = 1 et qui vaut f(1), soit e.