Sujet 0, épreuve commune, exercice 4, 2019

Exercice 4 (5 points)

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 % de son intensité lumineuse. L'intensité lumineuse est exprimée en candela (cd).
On utilise une lampe torche qui émet un rayon d'intensité lumineuse réglée à 400 cd.
On superpose n plaques de verre identiques (n étant un entier naturel) et on désire mesurer l'intensité lumineuse I_n du rayon à la sortie de la n-ième plaque.
On note I₀ = 400 l'intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques (intensité lumineuse initiale). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite (I_n).

1. Montrer par un calcul que I₁ = 320.

a. Pour tout entier naturel n, exprimer I_n+1 en fonction de I_n.

b. En déduire la nature de la suite (I_n). Préciser sa raison et son premier terme.

c. Pour tout entier naturel n, exprimer I_n en fonction de n.

On souhaite déterminer le nombre minimal n de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 % de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

a. Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante :
def nombrePlaques(J):
I=400 n=0
while I> J:
I = 0.8*I
n = n+1
return n
Préciser, en justifiant, le nombre j de sorte que l'appel nombrePlaques(J) renvoie le nombre de plaques à superposer.

b. Le tableau suivant donne des valeurs de I_n. Combien de plaques doit-on superposer ?

n	0	1	2	3	4	5	6	7
I_n	400	320	256	204,8	163,84	131,07	104,85	83,886

Voir le corrigé

Corrigé

Exercice 4 :

Une suite est géométrique si et seulement si, pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours pas un même réel.
Diminuer une quantité de t % revient à multiplier cette quantité par $\left ( 1-\frac{t}{100} \right )$ .

1. $I_{1}=I_{0}\times \left ( 1-\frac{20}{100} \right )=400\times 0,8=320$

a. Pour tout de n de Ensemble N

, $I_{n+1}=I_{n}\times 0,8$ .

b. La suite (I_n) est donc géométrique de raison q = 0,8 et de premier terme I₀ = 400.

c. Pour tout n de Ensemble N

, $I_{n}=I_{0}\times q^{n}=400\times 0,8^{n}$ .

a. $J=I_{0}\times \left ( 1-\frac{70}{100} \right )=400\times 0,3=120$ .

b. On cherche le plus petit entier naturel n tel que I_n inférieur ou égal

120.
On a I₅ > 120 > I₆. Donc le plus petit entier naturel n tel que I_n inférieur ou égal

120 est 6.
Ainsi on devra superposer 6 plaques.