C'est en recherchant des fonctions dérivables sur
dont la dérivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit à l'étude de la fonction exponentielle. Celle-ci joue un rôle capital en mathématiques, car c'est une fonction de référence : elle intervient dans de nombreuses lois de probabilité.
![\mathbb{R}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m1.png)
1. Comment définir la fonction exponentielle ?
Définition
La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des réels vérifiant les deux conditions suivantes :- pour tout réel x, exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1. Conséquences : e0 = 1 ;
;
et
;
- pour tout réel x on a :
.
Dérivée, courbe représentative
La fonction exponentielle est égale à sa dérivée.La fonction exponentielle est strictement positive sur
![\mathbb{R}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m6.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
Courbe représentative de la fonction exponentielle
![]() |
Dérivée de la fonction eu
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a : (eu)'(x) = u'(x)×eu(x).Exercice n°1Exercice n°2
2. Quelles sont les propriétés à retenir ?
Propriétés :- relation fonctionnelle : quels que soient les réels x et y on a : ex × ey = ex+y ;
- quels que soient les réels x et y on a
;
- pour tout nombre réel x on a :
;
- pour tout nombre réel x on a :
;
- pour tout nombre réel x et pour tout entier n on a :
;
- ea = eb si et seulement si a = b ;
- ea <eb si et seulement si a<b.
À retenir
- La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur l'ensemble des réels qui est sa propre dérivée et qui vérifie f(0) = 1.
- Pour tout réel x on a :
.
- Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a : (eu)'(x) = u'(x)×eu(x).
- Exp(x) > 0 pour tout réel x.
Exercice n°1
On considère la fonction f définie par
, continue et dérivable sur l'ensemble des réels.
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?
![f(x)=e^{3x+1}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m12.png)
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
La fonction f est du type eu avec, pour tout réel x, u(x)= 3x + 1.
La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par u'(x) = 3.
En appliquant la formule
, on trouve que
.
La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par u'(x) = 3.
En appliquant la formule
![f'(x)=u'(x)\times e^{u(x)}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m16.png)
![f'(x)=3e^{3x+1}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m17.png)
Exercice n°2
On considère la fonction f définie par
, continue et dérivable sur l'ensemble des réels.
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?
![f(x)=e^{3x^{2}-2x+8}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m18.png)
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
La fonction f est du type eu avec pour tout réel x,
.
La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par
.
En appliquant la formule
, on trouve que
.
![u(x)=3x^{2}-2x+8](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m22.png)
La fonction u est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est définie par
![u'(x)=6x-2](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m23.png)
En appliquant la formule
![f'(x)=u'(x)\times e^{u(x)}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m24.png)
![f'(x)=(6x-2)e^{3x^{2}-2x+8}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m25.png)
Exercice n°3
La fonction f, définie sur [0 ;
[, par
a pour tableau de variation :
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m29.png)
![f(x)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m30.png)
|
|
|
![f^{\prime}(x)=\frac{-1}{(1+\mathrm{e}^{-x})^{2}}\times{(-\mathrm{e}^{-x})}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m31.png)
![f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{(1+\mathrm{e}^{-x})^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m32.png)
Exercice n°4
Soit la fonction f, définie sur
;
, par
.
Quel est son sens de variation ?
![]-\infty](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m33.png)
![+\infty[](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m34.png)
![f(x)=\frac{100}{1+2\mathrm{e}^{-0,5x}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m35.png)
Quel est son sens de variation ?
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
En posant :
, sachant que
et
, on obtient :
.
D'où :
.
Comme l'exponentielle du numérateur et le carré du dénominateur sont toujours positifs, la dérivée est positive sur ]
;
[ et la fonction est croissante.
![u=1+2\mathrm{e}^{-0,5x}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m42.png)
![\left(\frac{100}{u}\right)^{\prime}=-\frac{100}{u^2}\times{u^{\prime}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m43.png)
![(\mathrm{e}^{-0,5x})^{\prime}=-0,5\mathrm{e}^{-0,5x}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m44.png)
![f^{\prime}(x)=\frac{-100\times{2}\times{(-0,5\mathrm{e}^{-0,5x})}}{(1+2\mathrm{e}^{0,5x})^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m45.png)
D'où :
![f^{\prime}(x)=\frac{100\mathrm{e}^{-0,5x}}{(1+2\mathrm{e}^{-0,5x})^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m46.png)
Comme l'exponentielle du numérateur et le carré du dénominateur sont toujours positifs, la dérivée est positive sur ]
![-\infty](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m47.png)
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m48.png)
Exercice n°5
On considère la fonction f définie par
. Elle est définie, continue et dérivable sur l'ensemble des réels.
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?
![f(x)=e^{-2x+1}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m49.png)
À quoi est égale la dérivée f' de la fonction f ?
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
La fonction f définie sur l'ensemble des réels est de la forme eu, sa dérivée sera donc de la forme u'eu.
Pour tout réel x, on a
donc
.
Donc pour tout réel x on a :
.
Pour tout réel x, on a
![u(x)=-2x+1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m50.png)
![u'(x)=-2](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m51.png)
Donc pour tout réel x on a :
![f'(x)=-2e^{-2x+1}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_17_m52.png)