Formules de dérivées et applications de la dérivation

Pour déterminer la fonction dérivée d'une fonction sur un intervalle donné, on peut revenir à la définition du nombre dérivé en un point a. On calcule alors la limite du taux d'accroissement de cette fonction entre x et a, lorsque x tend vers a. Ce calcul « à la main » est souvent très long et laborieux. Dans la pratique, on calcule une fonction dérivée en utilisant les formules des dérivées des fonctions usuelles, ainsi que les propriétés des opérations sur ces fonctions dérivées.
Les applications de l'étude des fonctions dérivées sont nombreuses. Parmi celles-ci, citons : détermination du sens de variation d'une fonction dérivable sur un intervalle, calcul des extrema locaux, des majorants et minorants éventuels, calcul de limites, etc.

1. Quelles sont les fonctions dérivées des fonctions usuelles ?

• La fonction affine $f:x \mapsto ax + b$ , où a et b sont des réels, est dérivable sur Ensemble R

et sa fonction dérivée est $f':x \mapsto a$ .

• La fonction puissance $g:x \mapsto x^n$ , où $n \in$ Ensemble Z

, est dérivable sur les intervalles où elle est définie ( Ensemble R

si $n \ge 0$ et $\left] { - \infty \, ; \: 0} \right[ \cup \left] {0 \, ; \: + \infty } \right[$ si n < 0) et sa fonction dérivée est $g':x \mapsto nx^{n - 1}$ .

• La fonction racine carrée $h:x \mapsto \sqrt x$ est dérivable sur $\left] {0 \, ; \: + \infty } \right[$ et sa fonction dérivée est
$h':x \mapsto \frac{1}{{2\sqrt x }}$ .

• La fonction cosinus $i:x \mapsto \cos x$ est dérivable sur Ensemble R

et sa fonction dérivée est $i':x \mapsto - \sin x$ .

• La fonction sinus $j:x \mapsto \sin x$ est dérivable sur Ensemble R

et sa fonction dérivée est $j':x \mapsto \cos x$ .

• Les deux premiers résultats permettent de retrouver rapidement ceux qui suivent :
– la fonction constante $k:x \mapsto \lambda$ où $\lambda$ est un réel fixé, est dérivable sur Ensemble R

et sa fonction dérivée est $k':x \mapsto 0$ ;
– la fonction carré $l:x \mapsto x^2$ est dérivable sur Ensemble R

et sa fonction dérivée est $l':x \mapsto 2x$ ;
– la fonction inverse $m:x \mapsto \frac{1}{x}$ est dérivable sur Ensemble R

$- \left\{ {0} \right\}$ et sa fonction dérivée est $m':x \mapsto - \frac{1}{{x^2 }}$ .
Exercice n°1

2. Comment calculer la dérivée d'une fonction grâce aux opérations sur les fonctions dérivées ?

• Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I ouvert de Ensemble R

. On a les propriétés suivantes :
u + v

est dérivable sur I et $\left( {u + v} \right)^\prime = u' + v'$ .
$u \times v$ est dérivable sur I et $\left( {u \times v} \right)^\prime = u'v + uv'$ .

• De ces propriétés, on déduit les suivantes :
– si v ne s'annule pas sur I, $\frac{1}{v} = v^{ - 1}$ est dérivable sur I et $\left( {\frac{1}{v}} \right)^\prime = \frac{{ - v'}}{{v^2 }}$ ;
– si v ne s'annule pas sur I, $\frac{u}{v} = u \times \frac{1}{v}$ est dérivable sur I et $\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime = \frac{{u'v - uv'}}{{v^2 }}$ ;
– si k est un réel fixé, ku est dérivable sur I et $\left( {ku} \right)^\prime = ku'$ .
Exercice n°2 Exercice n°3

3. Quelle est la fonction dérivée de la fonction composée qui à x associe g (ax + b) ?

Soit f la fonction affine $x \mapsto ax + b$ où a et b sont des réels, et g une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Soit J un intervalle ouvert tel que si $x \in J$ , alors $f\left( x \right) \in I$ .
Alors la fonction $h = g \circ f$ définie sur J par $h:x \mapsto g\left( {ax + b} \right)$ est dérivable sur J et, pour tout $x \in J$ , $h'\left( x \right) = ag'\left( {ax + b} \right)$ .
Exercice n°4 Exercice n°5

4. Quel est le lien entre la fonction dérivée f' et le sens de variation d'une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert ?

Le théorème suivant est admis :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert de Ensemble R

. On note f' sa dérivée sur I :
– si f' = 0

sur I, alors f est constante sur I ;
– si

> 0 sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f' = 0

, alors f est strictement croissante sur I ;
– si

< 0 sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f' = 0

, alors f est strictement décroissante sur I.

5. Comment détermine-t-on les extrema locaux éventuels d'une fonction dérivable sur un intervalle ouvert ?

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle $\left] {a \, ; \: b} \right[$ de Ensemble R

et x₀ un réel de cet intervalle.
Si f' s'annule en x₀ en changeant de signe, alors f admet un extremum (maximum ou minimum) local en x₀.

Remarques

• Le tableau de variation de f permet de visualiser rapidement ces extrema locaux et également de déterminer si ce sont des extrema absolus.

• La recherche d'extrema locaux est utile pour résoudre des problèmes d'optimisation en sciences physiques, en économie, etc.
Exercice n°6

6. Comment détermine-t-on une majoration, une minoration ou un encadrement d'une fonction sur un intervalle ?

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de Ensemble R

.
Un majorant M de f sur I est un réel tel que, pour tout $x \in I$ , $f\left( x \right) \le M$ .
Un minorant m de f sur I est un réel tel que, pour tout $x \in I$ , $f\left( x \right) \ge m$ .
Dans le cas où f admet à la fois un minorant m et un majorant M sur I, alors un encadrement de f sur I est : $m \le f\left( x \right) \le M$ .
Exercice n°7

7. Comment déterminer une valeur approchée de la solution d'une équation ?

Il existe plusieurs algorithmes permettant de déterminer une valeur approchée d'une solution d'une équation : balayage, dichotomie…
La méthode d'Euler utilise le principe de la dérivation.
Algorithme : Méthode de Newton pour résoudre une équation du type f(x)=0
Ici on utilise la fonction f(x) = 0,25x² − x − 1 et on démarre avec x₀ = 3.

Pour epsilon = 0,001 l'affichage final sera 4.828427125049864
Exercice n°5

À retenir

• Il faut connaître les formules de dérivées suivantes :
$\left( {u + v} \right)^\prime = u' + v'$
$\left( {u \times v} \right)^\prime = u'v + uv'$
$\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime = \frac{{u'v - uv'}}{{v^2 }}$
$\left( {u^n } \right)^\prime = nu'u^{n - 1}$ si $n \in$ Ensemble Z

ou si $n = \frac{1}{2}$
$\left( {f\left( {ax + b} \right)} \right)^\prime = af'\left( {ax + b} \right)$

Exercice n°1

Cochez la bonne réponse.

La limite de $\frac{{\sin x}}{x}$ , quand x tend vers 0, est égale à :

Cochez la bonne réponse.

$+ \infty$ quand $x \to 0^ +$ et $- \infty$ quand $x \to 0^ -$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - \sin 0}}{{x - 0}}$
La limite cherchée est donc la limite du taux d'accroissement de la fonction $f:x \mapsto \sin x$ en 0 lorsque x tend vers 0.
Or f est dérivable sur Ensemble R

et, pour tout $x \in$ Ensemble R

, $f'\left( x \right) = \cos x$ .
Donc $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = f'\left( 0 \right) = \cos 0 = 1$ .

Exercice n°2

Cochez la bonne réponse.

Quelle est, sur Ensemble R

^*, la dérivée de la fonction $x \mapsto \frac{{ - 3}}{{x^4 }}$ ?

Cochez la bonne réponse.

ok	$x \mapsto \frac{{12}}{{x^5 }}$

$x \mapsto \frac{{ - 3}}{{4x^3 }}$

$x \mapsto 0$

• Posons $f\left( x \right) = \frac{{ - 3}}{{x^4 }} = - 3x^{ - 4}$ , pour $x \ne 0$ .
Donc $f\left( x \right) = kx^n$ où k = - 3

.
Ainsi, $f'\left( x \right) = k \times nx^{n - 1} = - 3 \times \left( { - 4} \right)x^{ - 5} = 12x^{ - 5} = \frac{{12}}{{x^5 }}$ .

Exercice n°3

Cochez la bonne réponse.

La dérivée de la fonction $x \mapsto \frac{{3x - 1}}{{x + 2}}$ sur $\left] { - 2\,;\: + \infty } \right[$ est la fonction :

Cochez la bonne réponse.

ok	$x \mapsto \frac{7}{{\left( {x + 2} \right)^2 }}$

$x \mapsto \frac{{ - 7}}{{\left( {x + 2} \right)^2 }}$

$x \mapsto 3$

• Posons $g\left( x \right) = \frac{{3x - 1}}{{x + 2}}$ où x > - 2

.
g est de la forme $\frac{u}{v}$ où $u\left( x \right) = 3x - 1$ et v(x) = x + 2

.
On a alors u'(x) = 3

.
Ainsi, pour tout x > - 2

:
$g'\left( x \right) = \frac{{u'v - uv'}}{{v^2 }}(x)$
$g'\left( x \right) = \frac{{3\left( {x + 2} \right) - \left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)^2 }}$
$g'\left( x \right) = \frac{7}{{\left( {x + 2} \right)^2 }}$

Exercice n°4

Cochez la bonne réponse.

La dérivée de la fonction $x \mapsto \sqrt {1 - 3x}$ sur $\left] { - \infty \, ; \: \frac{1}{3}} \right[$ est la fonction :

Cochez la bonne réponse.

$x \mapsto \frac{1}{{2\sqrt {1 - 3x} }}$

$x \mapsto \frac{3}{{2\sqrt {1 - 3x} }}$

ok	$x \mapsto \frac{{ - 3}}{{2\sqrt {1 - 3x} }}$

• Posons $h\left( x \right) = \sqrt {1 - 3x}$ pour x < $\frac{1}{3}$ .
h est telle que $h\left( x \right) = g\left( {ax + b} \right)$ , avec $g\left( x \right) = \sqrt x$ , a = - 3

.
Donc $h'\left( x \right) = ag'\left( {ax + b} \right) = - 3 \times \frac{1}{{2\sqrt {1 - 3x} }}$ , puisque $g'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ .
D'où, pour tout $x \in \left] { - \infty \,;\: \frac{1}{3}} \right[$ , $h'\left( x \right) = \frac{{ - 3}}{{2\sqrt {1 - 3x} }}$ .

Exercice n°5

Cochez la bonne réponse.

Quelle est la dérivée de la fonction $x \mapsto \sin ^2 \left( {2x} \right)$ sur Ensemble R

Cochez la bonne réponse.

$x \mapsto 2\sin 2x \cos 2x$

$x \mapsto 2\sin 4x$

ok	$x \mapsto 4\sin 2x \cos 2x$

• Posons $m(x) = \sin ^2 (2x) = \left[ {\sin \left( {2x} \right)} \right]^2$ .
m est de la forme uⁿ où n = 2

et $u(x) = \sin 2x$ .
u est de la forme $u(x) = g\left( {ax + b} \right)$ , avec $g(x) = \sin x$ , a = 2

• On a $g^\prime (x) = \cos x$ , d'où $u^\prime (x) = 2\cos 2x$ .
Ainsi, $m^\prime (x) = 2u^\prime (x) u(x) = 2 \times 2\cos 2x \times \sin 2x$ ;
d'où, pour tout $x \in$ Ensemble R

, $m^\prime (x) = 4\cos 2x\sin 2x$ .

Exercice n°6

Cochez la bonne réponse.

La fonction $l:x \mapsto x^3 - x^2 - 5x + 2$ définie sur Ensemble R

admet :

Cochez la bonne réponse.

un maximum local en $x = \frac{5}{3}$

un minimum local en x = - 1

ok	un maximum local en

• La fonction l est dérivable sur Ensemble R

et, pour tout $x \in$ Ensemble R

, $l'\left( x \right) = 3x^2 - 2x - 5$ . On a affaire à un trinôme du second degré dont le discriminant est : $\Delta = 4 + 60 = 64$ .
Donc $l'\left( x \right) = 0$ pour $x = \frac{{2 - 8}}{6} = - 1$ et $x = \frac{{2 + 8}}{6} = \frac{5}{3}$ .
Comme a = 3>0

, alors :
$l'\left( x \right)$ > 0 pour $x \in \left] { - \infty \, ; \: - 1} \right[ \cup \left] {\frac{5}{3}\,;\: + \infty } \right[$ ;
$l'\left( x \right)$ < 0 pour $x \in \left] { - 1\,;\:\frac{5}{3}} \right[$ .

• On en déduit le tableau de variation de l :

On en déduit que l admet un maximum local en x = - 1

(et un minimum local en $x = \frac{5}{3}$ ).

Exercice n°7

Cochez la bonne réponse.

Que peut-on dire des variations et du signe de la fonction $x \mapsto x\cos x - \sin x$ ?

Cochez la bonne réponse.

elle est strictement décroissante et positive sur $\left[ {0\,;\:\pi } \right]$

elle est strictement croissante et positive sur $\left[ {0\,;\:\pi } \right]$

ok	elle est strictement décroissante et négative sur $\left[ {0\,;\:\pi } \right]$

• La fonction $f:x \mapsto x\cos x - \sin x$ est dérivable sur $\left[ {0\,;\:\pi } \right]$ comme somme des fonctions $x \mapsto - \sin x$ , dérivable sur Ensemble R

donc sur $\left[ {0\,;\:\pi } \right]$ , et $x \mapsto x\cos x$ , dérivable sur Ensemble R

, donc sur $\left[ {0\,;\:\pi } \right]$ , cette seconde fonction étant le produit de fonctions dérivables sur Ensemble R

, donc sur $\left[ {0\,;\:\pi } \right]$ .
Et, pour tout $x \in \left[ {0\,;\:\pi } \right]$ , $f^\prime (x) = 1 \times \cos x + x \times \left( { - \sin x} \right) - \left( {\cos x} \right)$ ,
soit $f'(x) = \cos x - x\sin x - \cos x = - x\sin x$ .
Or sur $\left[ {0\,;\:\pi } \right]$ , $- x \le 0$ et $\sin x \ge 0$ donc $f'(x) \le 0$ . Plus précisément, f'(x) = 0

si et seulement si x = 0

ou $x = \pi$ .

• On en déduit le tableau de variation suivant :

Ainsi, pour tout $x \in \left[ {0\,;\:\pi } \right]$ , $f(x) \le f\left( 0 \right)$ donc $f(x) \le 0$ .
Donc f est strictement décroissante et négative sur $\left[ {0\,;\:\pi } \right]$ . (0 est le maximum de f sur $\left[ {0\,;\:\pi } \right]$ .)