Le concept de dérivée n'a été dégagé qu'il y a environ trois siècles. Il est lié, en mathématiques, à la notion de tangente à une courbe, et en sciences physiques, à celle de vitesse instantanée d'un mobile. Les calculs de dérivées ont de nombreuses applications : ils permettent de déterminer les variations d'une fonction, de résoudre des problèmes d'optimisation, de calculer certaines limites, etc.
1. Comment définir le nombre dérivé d'une fonction en un réel ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert et a un réel appartenant à I.
On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté
:
![f'\left( a \right) =](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m2.png)
![\mathop {\lim }\limits_{x \to a}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m3.png)
![\frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}} =](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m4.png)
![\mathop {\lim }\limits_{h \to 0}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m5.png)
.
Exercice n°1
On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté
![f'\left( a \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m1.png)
![f'\left( a \right) =](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m2.png)
![\mathop {\lim }\limits_{x \to a}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m3.png)
![\frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}} =](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m4.png)
![\mathop {\lim }\limits_{h \to 0}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m5.png)
![\frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m6.png)
Exercice n°1
2. Que représente le nombre dérivé d'une fonction en un réel ?
Lorsqu'une fonction f est dérivable en un réel a d'un intervalle ouvert I, le nombre dérivé de f en a,
, est le coefficient directeur de la tangente à C, la courbe représentative de f, au point d'abscisse a de C.
![f'\left( a \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m7.png)
![]() |
3. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction, en un point ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, dérivable en un réel a de I. On note T la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
Par définition, T est une droite de coefficient directeur
. De plus, T passe par le point
.
En traduisant ces deux conditions, on obtient l'équation de T :
.
Exercice n°4
Par définition, T est une droite de coefficient directeur
![f'\left( a \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m8.png)
![{\rm{A}}\left( {a \, ; \: f\left( a \right)} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m9.png)
En traduisant ces deux conditions, on obtient l'équation de T :
![y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m10.png)
Exercice n°4
4. Existe-t-il des fonctions non dérivables en a ?
Exemple 1 :Étudions la dérivabilité de la fonction racine carrée en 0.
On considère la fonction f définie sur
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![\mathrm{f}(\mathrm{x})= \sqrt{\mathit{x}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m11.png)
Pour cela, on étudie la limite du taux d'accroissement de f entre 0 et 0 + h :
![\lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{f(\mathit{x}_{0}+\mathrm{h})-f(\mathit{x}_{0})}{\mathrm{h}}= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\sqrt{0+\mathrm{h}}-\sqrt{0}}{\mathrm{h}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m12.png)
![= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\sqrt{\mathrm{h}}}{\mathrm{h}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m13.png)
![= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{h}}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m14.png)
![= +\infty](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m15.png)
La limite n'est pas un nombre réel fini. La fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en 0. Cependant, la courbe admet, au point d'abscisse 0, une demi-tangente verticale.
Exemple 2 :
Étudions la dérivabilité de la fonction valeur absolue en 0.
On considère la fonction f définie sur
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![\lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\left | 0+\mathrm{h} \right | -\left | 0 \right | }{\left | \mathrm{h} \right | }= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\left | \mathrm{h} \right | }{\mathrm{h}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m16.png)
Or, la quantité
![\frac{\left | \mathrm{h} \right | }{\mathrm{h}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m17.png)
![\lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} > 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= \lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} > 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= 1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m18.png)
![\lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} < 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= \lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} < 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= -1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m19.png)
(Les limites à gauche et à droite sont différentes…)
Le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0 + h n'a pas de limite en 0. Par conséquent la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Cependant, elle est dérivable "à droite" de 0 et "à gauche" de 0.
La courbe admet donc deux demi-tangentes distinctes de coefficients directeurs respectifs 1 et −1
Exercice n°5
5. Qu'est-ce que la fonction dérivée d'une fonction dérivable sur un intervalle ?
• Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I.
On dit que f est dérivable sur I lorsque f est dérivable en tout réel x de I.
On dit que f est dérivable sur I lorsque f est dérivable en tout réel x de I.
• Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
La fonction qui, à tout réel x de I, associe le nombre dérivé
est appelée la fonction dérivée de f sur I. Elle est notée f'.
Exercice n°6Exercice n°7
La fonction qui, à tout réel x de I, associe le nombre dérivé
![f'\left( x \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m20.png)
Exercice n°6Exercice n°7
À retenir
• Une fonction f, définie sur un intervalle ouvert contenant un réel a, est dérivable en a si
admet une limite finie lorsque x tend vers a. Ce réel est alors noté
et appelé le « nombre dérivé de f en a ».
![\frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m21.png)
![f'\left( a \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m22.png)
• Dans ce cas,
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. Cette tangente a alors pour équation
.
![f'\left( a \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m23.png)
![y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m24.png)
• Si une fonction f est définie et dérivable en tout réel x d'un intervalle ouvert I, alors la fonction qui, à tout
, associe
est la fonction dérivée de f sur I, elle est notée f'.
![x \in I](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m25.png)
![f'\left( x \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m26.png)
Exercice n°1
Cochez la bonne réponse.
Quel est le nombre dérivé en 4 de la fonction f définie sur
par :
?
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![f\left( x \right) = x^2 + 2x - 1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m27.png)
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
Pour
, on a :
Or
, donc le nombre dérivé de f en 4 existe et vaut
.
![h \ne 0](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m28.png)
![\frac{{f\left( {4 + h} \right) - f\left( 4 \right)}}{h} = \frac{{\left( {4 + h} \right)^2 + 2\left( {4 + h} \right) - 1 - 23}}{h}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m29.png)
![\frac{{f\left( {4 + h} \right) - f\left( 4 \right)}}{h} = \frac{{h^2 + 10h}}{h}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m30.png)
![\frac{{f\left( {4 + h} \right) - f\left( 4 \right)}}{h} = h + 10](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m31.png)
Or
![\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} h + 10 = 10](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m32.png)
![f'\left( 4 \right) = 10](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m33.png)
Exercice n°2
Cochez la bonne réponse.
On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle
:
![\left] { - 3 \, ; \: 5} \right[](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m34.png)
![]() |
Le nombre dérivé de f en 2 est :
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
Le nombre f'(2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 2 de cette courbe.
Sur le dessin, la fonction f est clairement strictement décroissante au point d'abscisse 2, donc f'(2) est strictement négatif.
Sur le dessin, la fonction f est clairement strictement décroissante au point d'abscisse 2, donc f'(2) est strictement négatif.
Exercice n°3
Cochez la bonne réponse.
Soit g la fonction définie sur
par
. En quels points la courbe de g admet-elle une tangente parallèle à la droite D d'équation :
?
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![g\left( x \right) = x^3](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m35.png)
![y = 3x + 5](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m36.png)
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
• Soit a un réel quelconque.
Pour
, on a :
, soit
.
Or
, qui est un réel fini.
Donc g est dérivable en tout réel a, d'où g est dérivable sur
et, pour tout
,
.
Pour
![h \ne 0](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m42.png)
![\frac{{g\left( {a + h} \right) - g\left( a \right)}}{h} = \frac{{\left( {a + h} \right)^3 - a^3 }}{h} = \frac{{a^3 + 3a^2 h + 3ah^2 + h^3 - a^3 }}{h}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m43.png)
![\frac{{g\left( {a + h} \right) - g\left( a \right)}}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m44.png)
Or
![\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 3a^2 + 3ah + h^2 = 3a^2](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m45.png)
Donc g est dérivable en tout réel a, d'où g est dérivable sur
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![a \in](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m46.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![g'\left( a \right) = 3a^2](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m47.png)
• On cherche pour quels réels a le coefficient directeur de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse a est égal à celui de la droite d'équation
, c'est-à-dire égal à 3.
On résout donc
, soit
, ou encore
. Les solutions sont :
ou
.
Ainsi, les points cherchés sont :
et
.
![y = 3x + 5](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m48.png)
On résout donc
![g'\left( a \right) = 3](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m49.png)
![3a^2 = 3](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m50.png)
![a^2 = 1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m51.png)
![a = 1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m52.png)
![a = - 1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m53.png)
Ainsi, les points cherchés sont :
![{\rm{A}}\left( {1 \, ; \: g\left( 1 \right) = 1} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m54.png)
![{\rm{B}}\left( { - 1 \, ; \: g\left( { - 1} \right) = - 1} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m55.png)
Exercice n°4
Cochez la bonne réponse.
Soit g la fonction définie sur
par
.
Une équation de la tangente T à la courbe de g au point d'abscisse
est :
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![g\left( x \right) = 2x^2 + 3x - 1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m56.png)
Une équation de la tangente T à la courbe de g au point d'abscisse
![-1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m57.png)
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
Pour
, on a :
Or
donc g est dérivable en
et
.
Donc T a pour équation :
,
soit
, ou encore
.
![h \ne 0](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m61.png)
![\frac{{g\left( { - 1 + h} \right) - g\left( { - 1} \right)}}{h} = \frac{{2\left( { - l + h} \right)^2 + 3\left( { - 1 + h} \right) - 1 - \left( { - 2} \right)}}{h}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m62.png)
![\frac{{g\left( { - 1 + h} \right) - g\left( { - 1} \right)}}{h} = \frac{{2h^2 - h}}{h}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m63.png)
![\frac{{g\left( { - 1 + h} \right) - g\left( { - 1} \right)}}{h} = 2h - 1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m64.png)
Or
![\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2h - 1 = - 1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m65.png)
![- 1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m66.png)
![g'\left( { - 1} \right) = - 1](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m67.png)
Donc T a pour équation :
![y = g'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + g\left( { - 1} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m68.png)
soit
![y = - \left( {x + 1} \right) - 2](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m69.png)
![y = - x - 3](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m70.png)
Exercice n°5
Soit g la fonction définie pour tout x de [0;
[ par
.
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m71.png)
![\mathit{g}(\mathit{x})= \mathit{x}\sqrt{\mathit{x}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m72.png)
Le taux d'accroissement de g entre 0 et 0+h est égal à :
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
| ||
|
Exercice n°6
Cochez la bonne réponse.
Soit la fonction g définie sur
par
.
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![{\rm{g}}\left( x \right) = x^2](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m75.png)
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
• Soit a un réel quelconque de
.
Pour
,
.
Or
qui est un réel fini.
Donc f est dérivable en tout réel a de
.
D'où f est dérivable sur
.
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
Pour
![h \ne 0](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m77.png)
![\frac{{g\left( {a + h} \right) - g\left( a \right)}}{h} = \frac{{\left( {a + h} \right)^2 - a^2 }}{h} = \frac{{2ah + h^2 }}{h} = 2a + h](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m78.png)
Or
![\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2a + h = 2a](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m79.png)
Donc f est dérivable en tout réel a de
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
D'où f est dérivable sur
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
Exercice n°7
Cochez la bonne réponse.
Soit la fonction
; elle est dérivable sur
. Quelle est sa fonction dérivée ?
![f:x \mapsto \frac{1}{x}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m80.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![- \left\{ 0 \right\}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m81.png)
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
Soit a un réel quelconque de
.
Pour
,
Or
qui est un réel fini.
Donc f est bien dérivable sur
et, pour tout
,
.
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![- \left\{ 0 \right\}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m85.png)
Pour
![h \ne 0](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m86.png)
![\frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} = \frac{{\frac{1}{{a + h}} - \frac{1}{a}}}{h} = \frac{{a - a - h}}{{ah\left( {a + h} \right)}} = - \frac{1}{{a\left( {a + h} \right)}}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m87.png)
Or
![\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 1}}{{a\left( {a + h} \right)}} = - \frac{1}{{a^2 }}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m88.png)
Donc f est bien dérivable sur
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/mr.png)
![- \left\{ 0 \right\}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m89.png)
![x \ne 0](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m90.png)
![f'\left( x \right) = - \frac{1}{{x^2 }}](https://static1.assistancescolaire.com/1/images/1s_mat_08_m91.png)