Fonctions polynomiales du second degré

Les fonctions trinômes du second degré ont pour représentation graphique une parabole. Leur étude permet de connaître leur sens de variation, leur maximum ou minimum et la position de leur courbe par rapport à l'axe des abscisses. Ces propriétés se retrouvent algébriquement grâce à la résolution d'équations et d'inéquations du second degré que l'on met au point de manière systématique en classe de première.

1. Qu'est-ce qu'une fonction trinôme du second degré ?

• C'est une fonction f définie sur Ensemble R

par :
$f\left( {x} \right) = ax^2 + bx + c$ , où a, b et c sont trois réels et $a \ne 0$ .

• Lorsque f est mise sous la forme $f\left( {x} \right) = a\left( {x - \alpha } \right)^2 + \beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels dépendants de a, b et c, on dit que f est sous une forme canonique.
Exercice n°1

2. Quel est le sens de variation d'une fonction trinôme du second degré ?

• La forme canonique de $f:x \mapsto ax^2 + bx + c$ , où $a \ne 0$ , permet de montrer les résultats suivants :

si a > 0

si a < 0

• La courbe de f dans un repère du plan est une parabole ayant pour axe de symétrie la droite d'équation $x = - \frac{b}{{2a}}$ et pour sommetle point ${\rm{S}}\left( { - \frac{b}{{2a}} \, ; \: f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right)$ .

3. Comment résout-on une équation du second degré du type ax² + bx + c = 0, où a est non nul ?

• Si c = 0, on factorise ax^2 + bx

par x et on est ramené à un produit de facteurs nuls.
Si b = 0, l'équation ax^2 + c = 0

se ramène à l'équation $x^2 = \frac{{ - c}}{a}$ qui se résout facilement selon les signes de c et a.
Si ax^2 + bx + c

est une identité remarquable évidente, on factorise le trinôme et on est ramené à un produit de facteurs nuls.

• Dans les autres cas, la forme canonique de $f:x \mapsto ax^2 + bx + c$ , où $a \ne 0$ , permet de montrer qu'en calculant le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ du trinôme

, on a :
– si Δ< 0, ax^2 + bx + c = 0

n'a pas de solution dans Ensemble R

;
– si Δ= 0, ax^2 + bx + c = 0

a pour unique solution $x_0 = - \frac{b}{{2a}}$ ;
– si Δ> 0, ax^2 + bx + c = 0

a deux solutions distinctes :
$x_1 = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$ et $x_2 = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$ .
Exercice n°2

• Démonstration :
On a $\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}= \mathrm{a}\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-{\frac{\Delta }{4\mathrm{a}}}$
– Si Δ < 0 alors $-{\frac{\Delta }{4\mathrm{a}}}> 0$ et ainsi $\mathrm{a}\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-{\frac{\Delta }{4\mathrm{a}}}> 0$ donc ax² + bx + c > 0 donc l'équation ax² + bx + c = 0 n'admet aucune solution réelle.
– Si Δ = 0 alors $\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}= \mathrm{a}\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}$ . Ainsi l'équation ax² + bx + c = 0 est équivalente à l'équation $\mathrm{a}\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}= 0$
$\Leftrightarrow \mathrm{a}= 0\mathrm{\mathrm{OU}}\left (\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}= 0$ (or $a\neq 0$ )
$\Leftrightarrow \left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )\left (\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )= 0$
$\Leftrightarrow \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}= 0\mathrm{OU}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}= 0$
$\Leftrightarrow \mathrm{x}= -\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}$
L'équation de départ ax² + bx + c = 0 admet donc une seule solution $-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}$ .
– Si Δ > 0, alors $\frac{\Delta }{4\mathrm{a}}> 0$ .
On a ax² + bx + c = 0
$\Leftrightarrow \mathrm{a}\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4\mathrm{a}}= 0$
$\Leftrightarrow \mathrm{a}\left [ \left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4\mathrm{a}^{2}} \right ]= 0$
$\Leftrightarrow \mathrm{a}= 0$ ou $\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4\mathrm{a}^{2}}= 0$ . Or $\mathrm{a}\neq 0$ .
$\Leftrightarrow \left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-\left ( \frac{\sqrt{\Delta }}{2\mathrm{a}} \right )^{2}= 0$
…
$\mathrm{S}= \left \{ \frac{-\mathrm{b}-\sqrt{\Delta }}{2\mathrm{a}};\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\mathrm{a}} \right \}$

4. Quel algorithme pour résoudre une équation du second degré ?

Algorithme
Variables a, b, c , D, x, y : nombres réels
Début
Lire a, b, c
D $\leftarrow$ b² − 4ac
Écrire D
Si D < 0 Alors
Écrire « Pas de solution »
Sinon
$x\,\leftarrow\,(-b\,-\,\sqrt{D})/(2a)$
Écrire x
y $\leftarrow$ $(-b\,+\,\sqrt{D})$ /(2a)
Écrire y
Fin Si
Fin

Sur TI 82	Sur Graph 25
Input A	? → A
Input B	? → B
Input C	? → C
B² − 4AC Sto D	B² − 4AC → D $\blacklozenge$
Disp D	If D < 0
If D < 0	Then “PAS DE SOLUTION“
Then	Else (−B + $\sqrt{D}$ )/(2A) $\rightarrow$ X $\blacklozenge$
Disp “PAS DE SOLUTION”	(−B + $\sqrt{D}$ )/(2A) → Y $\blacklozenge$
Else $(-B\,+\,\sqrt{D})$ /(2A) $\rightarrow$ X	Ifend
Disp X
$(-B\,+\,\sqrt{D})$ /(2A) $\rightarrow$ Y
Disp Y
End

5. Comment détermine-t-on le signe d'un trinôme du second degré du type ax² + bx + c, où a est non nul ?

• Si l'équation ax^2 + bx + c = 0

n'a pas de solution dans Ensemble R

(Δ< 0), alors ax^2 + bx + c

ne se factorise pas et est du signe de a pour tout réel x.

• Si l'équation ax^2 + bx + c = 0

a une unique solution $x_0 \left( {\Delta = 0} \right)$ , alors $ax^2 + bx + c = a\left( {x - x_0 } \right)^2$ et est du signe de a pour tout $x \in$ Ensemble R

$- \left\{ {x_0 } \right\}$ et nul en x₀.

• Si l'équation ax^2 + bx + c = 0

a deux solutions distinctes x₁ et x₂ $\left( {\Delta > 0} \right)$ , alors $ax^2 + bx + c = a\left( {x - x_1 } \right)\left( {x - x_2 } \right)$ , et un tableau de signes donne le résultat suivant :

Remarque

On résout ainsi tout type d'inéquation du second degré.
Exercice n°4 Exercice n°5 Exercice n°6

6. Quel est le lien entre les solutions d'une équation ou inéquation du second degré et l'allure de la parabole associée ?

• Soit f la fonction définie sur Ensemble R

par $f\left( x \right) = ax^2 + bx + c$ où $a \ne 0$ et C_f sa courbe représentative dans un repère du plan.
Résoudre l'équation ax^2 + bx + c = 0

revient à lire graphiquement les abscisses des points d'intersection de C_f et de l'axe des abscisses.

• Le signe de ax^2 + bx + c

est lié à la position de C_f par rapport à l'axe des abscisses.
Voici les différents cas possibles :

a < 0 et Δ< 0	a < 0 et Δ= 0	a < 0 et Δ> 0

a > 0 et Δ< 0	a > 0 et Δ= 0	a > 0 et Δ> 0

Exercice n°7 Exercice n°8

À retenir

• Toute fonction trinôme du second degré du type $x \mapsto ax^2 + bx + c$ , où $a \ne 0$ , a pour représentation graphique une parabole de sommet ${\rm{S}}\left( { - \frac{b}{{2a}} \, ; \: f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right)$ , d'axe de symétrie la droite d'équation $x = - \frac{b}{{2a}}$ , dont les branches sont « orientées vers le haut » si a > 0 et « orientées vers le bas » si a < 0.

• Le signe du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ du trinôme ax^2 + bx + c

, où $a \ne 0$ , donne le nombre de solutions à l'équation ax^2 + bx + c = 0

et permet de savoir si le trinôme est factorisable ou non :
– si Δ> 0, $ax^2 + bx + c = a\left( {x - x_1 } \right)\left( {x - x_2 } \right)$ , où $x_1 = \frac{{ - b - \sqrt {\Delta}}}{{2a}}$ et $x_2 = \frac{{ - b + \sqrt {\Delta}}}{{2a}}$ ;
– si Δ= 0, $ax^2 + bx + c = a\left( {x - x_0 } \right)^2$ où $x_0 = - \frac{b}{{2a}}$ ;
– si Δ< 0,

ne se factorise pas, et est du signe de a sur Ensemble R

Exercice n°1

Cochez la bonne réponse.

Quelle est la forme canonique du trinôme du second degré 2x^2 - 4x + 1

Cochez la bonne réponse.

$\left( {\sqrt 2 x - \sqrt 2 } \right)^2 - 1$

$2x\left( {x - 2} \right) + 1$

ok	$2\left( {x - 1} \right)^2 - 1$

C'est la seule réponse de la forme $a\left( {x - \alpha } \right)^2 + \beta$ . On a : a = 2

, $\alpha = 1$ et $\beta = - 1$ .

Exercice n°2

Cochez la bonne réponse.

L'équation $x^2 = \left( {\sqrt 3 - 2} \right)x - \frac{{\sqrt 3 }}{4}$ , où $x \in$ Ensemble R

Cochez la bonne réponse.

ok	n'a aucune solution

a une unique solution

a deux solutions distinctes

• L'équation $x^2 = \left( {\sqrt 3 - 2} \right)x - \frac{{\sqrt 3 }}{4}$ est équivalente à l'équation $x^2 - \left( {\sqrt 3 - 2} \right)x + \frac{{\sqrt 3 }}{4} = 0$ .

• On calcule le discriminant du trinôme $x^2 - \left( {\sqrt 3 - 2} \right)x + \frac{{\sqrt 3 }}{4}$ :
$\Delta = \left[ { - \left( {\sqrt 3 - 2} \right)} \right]^2 - 4 \times 1 \times \frac{{\sqrt 3 }}{4} = 7 - 4\sqrt 3 - \sqrt 3 = 7 - 5\sqrt 3$ .
Or $5\sqrt 3 > 7$ donc le discriminant Δest strictement négatif.

• L'équation $x^2 = \left( {\sqrt 3 - 2} \right)x - \frac{{\sqrt 3 }}{4}$ n'a donc aucune solution réelle.

Exercice n°3

Cochez la bonne réponse.

Quelles sont les solutions de l'inéquation $\frac{{x + 1}}{2} \le \frac{1}{x}$ ?

Cochez la bonne réponse.

ok	$S = \left] { - \infty \, ; \: - 2} \right] \cup \left] {0 \, ; \: 1} \right]$

$S = \left[ { - 2 \, ; \: 0} \right[ \cup \left] {0 \, ; \: 1} \right]$

$S = \left] { - \infty \, ; \: 0} \right[$

• $\frac{{x + 1}}{2} \le \frac{1}{x}$ si et seulement si $\frac{{x + 1}}{2} - \frac{1}{x} \le 0$ soit $\frac{{x\left( {x + 1} \right) - 2}}{{2x}} \le 0$ .
L'inéquation proposée est donc équivalente à : $\frac{{x^2 + x - 2}}{{2x}} \le 0$ .
Or

a pour discriminant $\Delta = 1 + 8 = 9$ donc x^2 + x - 2 = 0

si et seulement si $x = \frac{{ - 1 - 3}}{2} = - 2$ ou $x = \frac{{ - 1 + 3}}{2} = 1$ ;

• On peut alors dresser le tableau des signes suivant :

On en déduit que $S = \left] { - \infty \, ; \: - 2} \right] \cup \left] {0 \, ; \: 1} \right]$ .

Exercice n°4

Cochez la bonne réponse.

Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $\frac{{ - x^2 + x - 1}}{{2x^2 - x}} \ge 0$ ?

Cochez la bonne réponse.

$S = \left] { - \infty \, ; \: 0} \right[ \cup \left] {\frac{1}{2} \, ; \: \infty } \right[$

ok	$S = \left] {0 \, ; \: \frac{1}{2}} \right[$

$S = \emptyset$

• Le trinôme - x^2 + x - 1

a pour discriminant $\Delta = - 3$ < 0 et a = - 1

< 0 donc, pour tout $x \in$ Ensemble R

< 0.

• $2x^2 - x = x\left( {2x - 1} \right)$ s'annule pour x = 0

et $x = \frac{1}{2}$ et, puisque a = 2 > 0

> 0 sur $\left] { - \infty \, ; \: 0} \right[ \cup \left] {\frac{1}{2} \, ; \: + \infty } \right[$ ;
2x^2 - x

< 0 sur $\left] {0 \, ; \: \frac{1}{2}} \right[$ .

• Ainsi, $S = \left] {0 \, ; \: \frac{1}{2}} \right[$ .

Exercice n°5

Cochez la bonne réponse.

Pour quelles valeurs de m l'équation x^2 + mx + 1

a-t-elle deux solutions distinctes ?

Cochez la bonne réponse.

pour tout $m \in \left] {2 \, ; \: + \infty } \right[$

pour tout $m \in \left] { - 2 \, ; \: + 2} \right[$

ok	pour tout $m \in \left] { - \infty \, ; \: - 2} \right[ \cup \left] {2 \, ; \: + \infty } \right[$

Le discriminant de x^2 + mx + 1

est $\Delta = m^2 - 4 = \left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)$ qui est strictement positif si et seulement si $\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) > 0$ , c'est-à-dire si et seulement si $m \in \left] { - \infty \, ; \: - 2} \right[ \cup \left] {2 \, ; \: + \infty } \right[$ .

Exercice n°6

Cochez la bonne réponse.

Laquelle des équations proposées est une équation de la parabole P représentée ci-dessous ?

Cochez la bonne réponse.

• La parabole P coupe l'axe des abscisses en x = - 1

, donc une équation de P est $y = a\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)$ .

• De plus, P a pour sommet $S\left( {\frac{1}{2},\frac{9}{4}} \right)$ donc $\frac{9}{4} = a\left( {\frac{1}{2} + 1} \right)\left( {\frac{1}{2} - 2} \right)$ ce qui donne a = - 1

.
(Il est logique de trouver a < 0 car P est « tournée vers le bas ».)

• D'où P a pour équation $y = - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)$ , ou encore y = - x^2 + x + 2

Exercice n°7

Cochez la bonne réponse.

Pour quelles valeurs de k la parabole d'équation y = x^2 - kx + 2

est-elle entièrement au-dessus ou sur l'axe des abscisses ?

Cochez la bonne réponse.

ok	pour $k \in \left[ { - 2\sqrt 2 \, ; \: 2\sqrt 2 } \right]$

pour $k = - 2\sqrt 2$ ou $k = 2\sqrt 2$

pour $k \in \left] { - \infty \, ; \: - 2\sqrt 2 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 2 \, ; \: + \infty } \right[$

• La parabole d'équation y = x^2 - kx + 2

est entièrement au-dessus ou sur l'axe des abscisses si et seulement si, pour tout $x \in$ Ensemble R

, $x^2 - kx + 2 \ge 0$ .
C'est-à-dire si et seulement si $\Delta \le 0$ , puisque a = 1 > 0

• Or $\Delta = k^2 - 8 = \left( {k - 2\sqrt 2 } \right)\left( {k + 2\sqrt 2 } \right)$ .
Donc $\Delta \le 0$ si et seulement si $k \in \left[ { - 2\sqrt 2 \, ; \: 2\sqrt 2 } \right]$ .

Fonctions polynomiales du second degré

1. Qu'est-ce qu'une fonction trinôme du second degré ?

2. Quel est le sens de variation d'une fonction trinôme du second degré ?

3. Comment résout-on une équation du second degré du type ax2 + bx + c = 0, où a est non nul ?

4. Quel algorithme pour résoudre une équation du second degré ?

5. Comment détermine-t-on le signe d'un trinôme du second degré du type ax2 + bx + c, où a est non nul ?

Remarque

6. Quel est le lien entre les solutions d'une équation ou inéquation du second degré et l'allure de la parabole associée ?

À retenir

3. Comment résout-on une équation du second degré du type ax² + bx + c = 0, où a est non nul ?

5. Comment détermine-t-on le signe d'un trinôme du second degré du type ax² + bx + c, où a est non nul ?