Énoncé
Exercice sur 6 points
On considère une fonction f définie et deux fois dérivable sur . On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, se dérivée et sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe Cf et sa tangente T au point B d'abscisse −1.
On précise que la droite T passe par le point A(0 ; −1).
On a tracé ci-dessous la courbe Cf et sa tangente T au point B d'abscisse −1.
On précise que la droite T passe par le point A(0 ; −1).
Partie A : exploitation du graphique.
À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.
1. Préciser f(−1) et .
2. La courbe Cf est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
3. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 et donner une valeur arrondie à 10−1 près d'une solution.
Partie B : étude de la fonction f
On considère que la fonction f est définie sur par f(x) = x2 + 2x − 1 + ln(x + 2), où ln désigne la fonction logarithme népérien.
1. Déterminer par le calcul la limite de la fonction f en −2. Interpréter graphiquement ce résultat. On admet que .
2. Montrer que pour tout x > −2, .
3. Étudier les variations de la fonction f sur puis dresser son tableau de variations complet.
4. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur et donner une valeur arrondie de α à 10−2 près.
5. En déduire le signe de f(x) sur .
6. Montrer que Cf admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.
Partie C : une distance minimale.
Soit g la fonction définie sur par g(x) = ln(x + 2).
On note Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; I, J), représenté ci-dessous.
On note Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; I, J), représenté ci-dessous.
Soit M un point de Cg d'abscisse x.
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de x la distance JM est minimale.
On considère la fonction h définie sur par h(x) = JM2.
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de x la distance JM est minimale.
On considère la fonction h définie sur par h(x) = JM2.
1. Justifier que pour tout x > −2, on a : h(x) = x2 + [In(x + 2) − 1]2.
2.
On admet que la fonction h est dérivable sur et on note sa fonction dérivée. On admet également que pour tout réel x > −2, où f est la fonction étudiée en partie B.
a. Dresser le tableau de variations de h sur .
Les limites ne sont pas demandées.
Les limites ne sont pas demandées.
b. En déduire que la valeur de x pour laquelle la distance JM est minimale est α où α est le nombre réel défini à la question 4 de la partie B.
3.
On notera le point de Cg d'abscisse α.
a. Montrer que In(α + 2) = 1 − 2α − α−2
b. En déduire que la tangente à Cg au point et la droite sont perpendiculaires. On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à −1
Corrigé
Partie A
1. f(−1) est l'ordonnée sur point de Cf dont l'abscisse est égale à −1.
Or , donc f(−1) = −2.
est la pente de la tangente à Cf au point d'abscisse −1, c'est à dire B.
Donc est la pente de T. Or, B et A appartiennent à T donc la pente de T est égale à :
Or , donc f(−1) = −2.
est la pente de la tangente à Cf au point d'abscisse −1, c'est à dire B.
Donc est la pente de T. Or, B et A appartiennent à T donc la pente de T est égale à :
2. La courbe Cf semble située sous ses tangentes sur l'intervalle ]−2 ; −1] donc f semble concave sur ]−2 ; −1]. Donc f ne semble pas convexe sur ]−2 ; −1]. f semble convexe uniquement sur .
3. Les solutions de f(x) = 0 sont les abscisses des points d'intersection entre Cf et la droite d'équation y = 0 (axe des abscisses). Ici, l'équation semble avoir une unique solution environ égale à 0,1.
Partie B
1. Étudions :
D'une part :
D'autre part :
Ainsi par somme,
Donc Cf admet une asymptote verticale d'équation x = −2.
D'une part :
D'autre part :
Ainsi par somme,
Donc Cf admet une asymptote verticale d'équation x = −2.
2. f est dérivable sur .
Pour tout x de :
Rappel :
Pour tout x de :
Rappel :
3. Soit Δ le discriminant de 2x2 + 6x + 5. Δ = 62−4 × 2 × 5 = −4. Δ < 0. Donc 2x2 + 6x + 5 n'admet aucune racine réelle. Et comme 2 > 0 alors, pour tout x de on a 2x2 + 6x + 5 > 0.
De plus, pour tout x de on a x > −2 donc x + 2 > 0.
Ainsi, est le quotient de deux nombres strictement positifs.
Donc, pour tout x de , .
Ainsi, f est strictement croissante sur .
De plus, pour tout x de on a x > −2 donc x + 2 > 0.
Ainsi, est le quotient de deux nombres strictement positifs.
Donc, pour tout x de , .
Ainsi, f est strictement croissante sur .
4. f est continue sur et f est strictement croissante sur .
0 appartient à : .
Donc, d'après le théorème de la bijection, f(x) = 0 admet une unique solution α sur .
Par la méthode du balayge avec la calculatrice on a :
f(0,1) < 0 et f(0,2) > 0.
f(0,11) < 0 et f(0,12) > 0.
f(0,117) < 0 et f(0,118) > 0. Donc 0,117 < α < 0,118. Ainsi .
0 appartient à : .
Donc, d'après le théorème de la bijection, f(x) = 0 admet une unique solution α sur .
Par la méthode du balayge avec la calculatrice on a :
f(0,1) < 0 et f(0,2) > 0.
f(0,11) < 0 et f(0,12) > 0.
f(0,117) < 0 et f(0,118) > 0. Donc 0,117 < α < 0,118. Ainsi .
5. f est strictement croissante sur et f s'annule en α.
Donc f est négative sur ]−2 ; α] et f positive sur .
Donc f est négative sur ]−2 ; α] et f positive sur .
6. est dérivable sur .
Soit Δ le discriminant de 2x2 + 8x + 7. Δ = 82 − 4 × 2 × 7 = 8. Δ < 0. Donc 2x2 + 8x + 7 admet deux racines réelles.
Ainsi, sur l'intervalle , s'annule une unique fois en x2 (car x1 < −2).
De plus, négative sur ]−2 ; x2] et positive sur .
Donc Cf admet un unique point d'inflexion d'abscisse x2.
Soit Δ le discriminant de 2x2 + 8x + 7. Δ = 82 − 4 × 2 × 7 = 8. Δ < 0. Donc 2x2 + 8x + 7 admet deux racines réelles.
Ainsi, sur l'intervalle , s'annule une unique fois en x2 (car x1 < −2).
De plus, négative sur ]−2 ; x2] et positive sur .
Donc Cf admet un unique point d'inflexion d'abscisse x2.
Partie C
1. Pour tout réel x de :
h(x) = JM2 = (xM − xJ)2 + (yM − yJ)2
JM2= (x − 0)2 + (g(x) − 1)2
JM2 = x2 + (ln(x + 2)) − 1)2
h(x) = JM2 = (xM − xJ)2 + (yM − yJ)2
JM2= (x − 0)2 + (g(x) − 1)2
JM2 = x2 + (ln(x + 2)) − 1)2
2. a.
est du signe de f car 2 > 0 et pour tout réel x de , x + 2 > 0.
Donc négative sur ]−2 ; α] et positive sur (et s'annule en α).
Donc h décroissante sur ]−2 ; α] et h croissante sur .
h admet donc un minimum égal à h(α) atteint lorsque x = α.
Donc négative sur ]−2 ; α] et positive sur (et s'annule en α).
Donc h décroissante sur ]−2 ; α] et h croissante sur .
h admet donc un minimum égal à h(α) atteint lorsque x = α.
b. JM est minimale si et seulement si JM2 est minimale.
Or, JM2 est minimale si et seulement x = α.
Ainsi, JM est minimale si et seulement x = α, cette longueur minimale est égale à .
Or, JM2 est minimale si et seulement x = α.
Ainsi, JM est minimale si et seulement x = α, cette longueur minimale est égale à .
3. a.
Soit , c'est à dire .
Or, on sait que f(α) = 0 car α est l'unique solution de l'équation f(x) = 0.
Donc α2 + 2α − 1 + ln(α + 2) = 0.
Ou encore ln(α + 2) = −α2 − 2α + 1.
Or, on sait que f(α) = 0 car α est l'unique solution de l'équation f(x) = 0.
Donc α2 + 2α − 1 + ln(α + 2) = 0.
Ou encore ln(α + 2) = −α2 − 2α + 1.
b. La tangente à Cg au point a pour pente .
Or, . Donc .
La droite a pour pente : .
Le sujet rappelle la propriété suivante : deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à −1.
Calculons le produit : .
Ainsi la tangente à Cg au point et la droite sont perpendiculaires.
Or, . Donc .
La droite a pour pente : .
Le sujet rappelle la propriété suivante : deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à −1.
Calculons le produit : .
Ainsi la tangente à Cg au point et la droite sont perpendiculaires.