Sujet de métropole, juin 2024, exercice 3

Énoncé

Exercice sur 6 points
On considère une fonction f définie et deux fois dérivable sur \left ]-2\, ;\: +\infty \right [. On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, {f}' se dérivée et {f}'' sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe Cf et sa tangente T au point B d'abscisse −1.
On précise que la droite T passe par le point A(0 ; −1).
 - illustration 1
Partie A : exploitation du graphique.
À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.
1.  Préciser f(−1) et {f}'\left ( -1 \right ).
2.  La courbe Cf est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
3.  Conjecturer le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 et donner une valeur arrondie à 10−1 près d'une solution.
Partie B : étude de la fonction f
On considère que la fonction f est définie sur \left ]-2\, ;\: +\infty \right [ par f(x) = x2 + 2x − 1 + ln(x + 2), où ln désigne la fonction logarithme népérien.
1.  Déterminer par le calcul la limite de la fonction f en −2. Interpréter graphiquement ce résultat. On admet que \displaystyle \lim_{x \to +\infty }f\left ( x \right )\, = \, +\infty.
2.  Montrer que pour tout x > −2, f\left ( x \right )\, = \, \frac{2x^{2}\, +\, 6x\, +\, 5}{x\, +\, 2}.
3.  Étudier les variations de la fonction f sur \left ]-2\, ; +\infty \right [ puis dresser son tableau de variations complet.
4.  Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur \left ]-2\, ; +\infty \right [ et donner une valeur arrondie de α à 10−2 près.
5. En déduire le signe de f(x) sur \left ]-2\, ; +\infty \right [.
6. Montrer que Cf admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.
Partie C : une distance minimale.
Soit g la fonction définie sur \left ]-2\, ; +\infty \right [ par g(x) = ln(x + 2).
On note Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; I, J), représenté ci-dessous.
 - illustration 2
Soit M un point de Cg d'abscisse x.
Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de x la distance JM est minimale.
On considère la fonction h définie sur \left ]-2\, ; +\infty \right [ par h(x) = JM2.
1. Justifier que pour tout x > −2, on a : h(x) = x2 + [In(x + 2) − 1]2.
2.  
On admet que la fonction h est dérivable sur \left ]-2\, ; +\infty \right [ et on note {h}' sa fonction dérivée. On admet également que pour tout réel x > −2, {h}'\left ( x \right )\, = \, \frac{2f\left ( x \right )}{x\, +\, 2}f est la fonction étudiée en partie B.
a. Dresser le tableau de variations de h sur \left ]-2\, ; +\infty \right [.
Les limites ne sont pas demandées.
b. En déduire que la valeur de x pour laquelle la distance JM est minimale est α où α est le nombre réel défini à la question 4 de la partie B.
3. 
On notera M_{\alpha } le point de Cg d'abscisse α.
a. Montrer que In(α + 2) = 1 − 2α − α−2
b. En déduire que la tangente à Cg au point M_{\alpha } et la droite \left ( JM_{\alpha } \right ) sont perpendiculaires. On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à −1

Corrigé

Partie A
1.  f(−1) est l'ordonnée sur point de Cf dont l'abscisse est égale à −1.
Or B\left ( -1\, ;\, -2 \right )\, \in\, C_{f}, donc f(−1) = −2.
{f}'\left ( -1 \right ) est la pente de la tangente à Cf au point d'abscisse −1, c'est à dire B.
Donc {f}'\left ( -1 \right ) est la pente de T. Or, B et A appartiennent à T donc la pente de T est égale à :
{f}' \left ( -1 \right )\, = \, \frac{y_{B}\, -\, y_{A}}{x_{B}\, -\, x_{A}}\, = \, \frac{\left ( -2 \right )\, -\, \left ( -1 \right )}{\left ( -1 \right )\, -\, 0}\, = \, 1.
2.  La courbe Cf semble située sous ses tangentes sur l'intervalle ]−2 ; −1] donc f semble concave sur ]−2 ; −1]. Donc f ne semble pas convexe sur ]−2 ; −1]. f semble convexe uniquement sur \left [ -1\, ;\, +\infty \right [.
3.  Les solutions de f(x) = 0 sont les abscisses des points d'intersection entre Cf et la droite d'équation y = 0 (axe des abscisses). Ici, l'équation semble avoir une unique solution environ égale à 0,1.
Partie B
1. Étudions : \underset{\underset{x\to -2}{x> -2}}{\mathrm{lim}}f\left ( x \right )
D'une part : \underset{\underset{x> -2}{x\to -2}}{\mathrm{lim}}x^{2}\, +\, 2x\, -\, 1\, = \, \left ( -2 \right )^{2}\, +\, 2\, \times \, \left ( -2 \right )\, -\, 1\, =\, -1
D'autre part : \underset{\underset{x> -2}{x\to -2}}{\mathrm{lim}}\, \mathrm{ln}\left ( x\, +\, 2 \right )\, = \, \underset{\underset{y> 0}{y\to 0}}{\mathrm{lim}}\; \mathrm{ln}\left ( y \right )\, = \, -\infty
Ainsi par somme, \underset{\underset{x> -2}{x\to -2}}{\mathrm{lim}} f\left ( x \right )\, = \, -\infty
Donc Cf admet une asymptote verticale d'équation x = −2.
2. f est dérivable sur \left ]-2\, ;\, +\infty \right [.
Pour tout x de \left ]-2\, ;\, +\infty \right [ :
Rappel : \mathrm{ln}{\left ( u \right )}'\, = \, \frac{{u}'}{u}
{f}'\left ( x \right )\, = \, 2x\, +\, 2\, +\, \frac{1}{x\, +\, 2}\, = \, \left ( 2x\, +\, 2 \right )\, \times \, \frac{x\, +\, 2}{x\, +\, 2}\, +\, \frac{1}{x\, +\, 2}\, = \, \frac{\left ( 2x\, +\, 2 \right )\left ( x\, +\, 2 \right )\, +\, 1}{x\, +\, 2}
{f}'\left ( x \right )\, = \, \frac{2x^{2}\, +\, 4x\, +\, 2x\, +\, 4\, +\, 1}{x\, +\, 2}\, = \, \frac{2x^{2}\, +\, 6x\, +\, 5}{x\, +\, 2}
3. Soit Δ le discriminant de 2x2 + 6x + 5. Δ = 62−4 × 2 × 5 = −4. Δ < 0. Donc 2x2 + 6x + 5 n'admet aucune racine réelle. Et comme 2 > 0 alors, pour tout x de \left ]-2\, ;\, +\infty \right [ on a 2x2 + 6x + 5 > 0.
De plus, pour tout x de \left ]-2\, ;\, +\infty \right [ on a x > −2 donc x + 2 > 0.
Ainsi, {f}'\left ( x \right ) est le quotient de deux nombres strictement positifs.
Donc, pour tout x de \left ]-2\, ;\, +\infty \right [, {f}'\left ( x \right )\, >\, 0.
Ainsi, f est strictement croissante sur \left ]-2\, ;\, +\infty \right [.
4. f est continue sur \left ]-2\, ;\, +\infty \right [ et f est strictement croissante sur \left ]-2\, ;\, +\infty \right [.
0 appartient à : \left ] \underset{\underset{x> -2}{x\to -2}}{\mathrm{lim}}f\left ( x \right )\, ;\, \displaystyle \lim_{x \to +\infty }f\left ( x \right ) \right [.
Donc, d'après le théorème de la bijection, f(x) = 0 admet une unique solution α sur \left ]-2\, ;\, +\infty \right [.
Par la méthode du balayge avec la calculatrice on a :
f(0,1) < 0 et f(0,2) > 0.
f(0,11) < 0 et f(0,12) > 0.
f(0,117) < 0 et f(0,118) > 0. Donc 0,117 < α < 0,118. Ainsi \alpha\, \approx \, 0,12.
5. f est strictement croissante sur \left ]-2\, ;\, +\infty \right [ et f s'annule en α.
Donc f est négative sur ]−2 ; α] et f positive sur \left [ \alpha \, ;\, +\infty \right [.
6. {f}' est dérivable sur \left ]-2\, ;\, +\infty \right [.
{f}'\, = \, \frac{u}{v}
{f}''\, = \, \frac{{}u'v\, -\, {v}'u}{v^{2}}
{f}''\left ( x \right )\, = \, \frac{\left ( 2\, \times \, 2x\, +\, 6 \right )\, \times \, \left ( x\, +\, 2 \right )\, -\, 1\, \times \, \left ( 2x^{2}\, +\,6x +\, 5 \right )}{\left ( x\, +\, 2 \right )^{2}}\, = \, \frac{\left ( 4x\, +\, 6 \right )\left ( x\, +\, 2 \right )\, -\, 2x^{2}\, +\, 6x\, -\, 5}{\left ( x\, +\, 2 \right )^{2}}
{f}''\left ( x \right )\, = \, \frac{4x^{2}\, +\, 8x\, +\, 6x\, +\, 12\, -\, 2x^{2}\, -\, 6x\, -\, 5}{\left ( x\, +\, 2 \right )^{2}}\, = \, \frac{2x^{2}\, +\, 8x\, +\, 7}{\left ( x\, +\, 2 \right )^{2}}
Soit Δ le discriminant de 2x2 + 8x + 7. Δ = 82 − 4 × 2 × 7 = 8. Δ < 0. Donc 2x2 + 8x + 7 admet deux racines réelles.
x_{1}\, = \, \frac{-8\, -\, \sqrt{8}}{2\, \times \, 2}\, = \, \frac{-8\, -\, \sqrt{4\, \times \, 2}}{4}\, = \, \frac{-8}{4}\, -\, \frac{\sqrt{4\, \times \, 2}}{4}\, = \, -2\, -\, \frac{\sqrt{4}\, \times \, \sqrt{2}}{4}\, = \, -2\, -\, \, \frac{2\, \times \, \sqrt{2}}{2\, \times \, 2}\, = \, -2\, -\, \frac{\sqrt{2}}{2}
\approx -2,7
x_{2}\, =\, \frac{-8\, +\, \sqrt{8}}{2\, \times \, 2}\, = \, \frac{-8\, +\, \sqrt{4\, \times \, 2}}{4}\, = \, \frac{-8}{4}\, +\, \frac{\sqrt{4\, \times \, 2}}{4}\, = \, -2\, +\, \frac{\sqrt{4}\, \times \, \sqrt{2}}{4}\, \, = \, -2\, +\, \frac{2\, \times \, \sqrt{2}}{2\, \times \, 2}\, = \, -2\, +\, \frac{\sqrt{2}}{2}
\approx -1,29
Ainsi, sur l'intervalle \left ]-2\, ;\, +\infty \right [, {f}'' s'annule une unique fois en x2 (car x1 < −2).
De plus, {f}'' négative sur ]−2 ; x2] et positive sur \left [x_{2}\, ;\, +\infty \right [.
Donc Cf admet un unique point d'inflexion d'abscisse x2.
Partie C
1. Pour tout réel x de \left ]-2\, ;\, +\infty \right [ :
h(x) = JM2 = (xM − xJ)2 + (yM − yJ)2
JM2= (x − 0)2 + (g(x) − 1)2
JM2x2 + (ln(x + 2)) − 1)2
2. a. 
{h}' est du signe de f car 2 > 0 et pour tout réel x de \left ]-2\, ;\, +\infty \right [, x + 2 > 0.
Donc {h}' négative sur ]−2 ; α] et {h}' positive sur \left [\alpha \, ;\, +\infty \right [ (et {h}' s'annule en α).
Donc h décroissante sur ]−2 ; α] et h croissante sur \left [\alpha \, ;\, +\infty \right [.
h admet donc un minimum égal à h(α) atteint lorsque x = α.
b.  JM est minimale si et seulement si JM2 est minimale.
Or, JM2 est minimale si et seulement x = α.
Ainsi, JM est minimale si et seulement x = α, cette longueur minimale est égale à \sqrt{h\left ( \alpha \right )}.
3. a. 
Soit M_{\alpha }\left ( \alpha \, ;\, g\left ( \alpha \right ) \right ), c'est à dire M_{\alpha }\left ( \alpha \, ;\, \mathrm{ln}\left ( \alpha\, +\, 2 \right ) \right ).
Or, on sait que f(α) = 0 car α est l'unique solution de l'équation f(x) = 0.
Donc α2 + 2α − 1 + ln(α + 2) = 0.
Ou encore ln(α + 2) = −α2 − 2α + 1.
b. La tangente à Cg au point M_{\alpha } a pour pente {g}'\left ( \alpha \right ).
Or, {g}'\left ( x \right )\, = \, \frac{1}{x\, +\, 2}. Donc {g}'\left ( \alpha \right )\, = \, \frac{1}{\alpha \, +\, 2}.
La droite \left ( JM_{\alpha } \right ) a pour pente : \frac{y_{M_{\alpha }}\, -\, y_{J}}{x_{M_{\alpha }}\, -\, x_{J}}\, = \, \frac{\mathrm{ln}\left ( \alpha \, +\, 2 \right )\, -\, 1}{\alpha \, -\, 0}\, = \, \frac{-\alpha ^{2}\, -\, 2\alpha \, +\, 1\, -\, 1}{\alpha }\, = \, \frac{-\alpha ^{2}\, -\, 2\alpha }{\alpha }\, =\, \frac{\alpha \, \times \, \left ( -\alpha\, -\, 2 \right )}{\alpha \, \times \, 1}\, = \, -\alpha \, -\, 2.
Le sujet rappelle la propriété suivante : deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à −1.
Calculons le produit : \frac{1}{\alpha \, +\, 2}\, \times \, \left ( -\alpha \, -\, 2 \right )\, = \, \frac{-\alpha \, -\, 2}{\alpha \, +\, 2}\, = \, \frac{-\left ( \alpha \, +\, 2 \right )}{\alpha \, +\, 2}\, = \, -1.
Ainsi la tangente à Cg au point M_{\alpha } et la droite \left ( JM_{\alpha } \right ) sont perpendiculaires.