Sujet de métropole, mars 2023, exercice 2

Énoncé

Exercice sur 5 points

On considère la fonction f définie sur ]0 ; $+\infty$ [ par f(x) = x² − 8 ln(x), où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que f est dérivable sur ]0 ; $+\infty$ [, on note {f}'

sa fonction dérivée.

1. Déterminer limx→0 f(x).

2. On admet que, pour tout x > 0, f(x) = x²(1 − 8 ln(x)x²).
En déduire la limite : limx→ $+\infty$ f(x).

3. Montrer que, pour tout réel x de ]0 ; $+\infty$ [, ${f}'\left ( x \right )\, =\,2\left ( x^{2}\, -\, 4 \right )x$ .

4. Étudier les variations de f sur ]0 ; $+\infty$ [ et dresser son tableau de variations complet.
On précisera la valeur exacte du minimum de f sur ]0 ; $+\infty$ [.

5. Démontrer que, sur l'intervalle ]0 ; 2], l'équation f(x) = 0 admet une solution unique α (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de α).

6. On admet que, sur l'intervalle [2 ; $+\infty$ [, l'équation f(x) = 0 admet une solution unique β (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de β).
En déduire le signe de f sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.

7. Pour tout nombre réel k, on considère la fonction g_k définie sur ]0 ; $+\infty$ [ par :g_k(x) = x² − 8ln(x) + k
En s'aidant du tableau de variations de f, déterminer la plus petite valeur de k pour laquelle la fonction g_k est positive sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [.

Corrigé

1. D'une part :
$\begin{matrix}\underset{x>0}{\displaystyle \lim_{x \to 0}} & x^{2}\, = \, 0\\\end{matrix}$
D'autre part :
$\begin{matrix}\underset{x>0}{\displaystyle \lim_{x \to 0}} & \textrm{ln}\left ( x \right )\, = \, -\infty \\\end{matrix}$
Donc par produit :
$\begin{matrix}\underset{x>0}{\displaystyle \lim_{x \to 0}} & \left ( -8 \right )\, \times \, \textrm{ln}\left ( x \right )\, = \, +\infty \\\end{matrix}$
Ainsi par somme :
$\begin{matrix}\underset{x>0}{\displaystyle \lim_{x \to 0}} & x^{2}\, +\, \left ( -8 \right )\, \times \, \textrm{ln}\left ( x \right )\, = \, +\infty \\\end{matrix}$
Donc :
$\begin{matrix}\underset{x>0}{\displaystyle \lim_{x \to 0}} & f\left ( x \right )\, = \, +\infty \\\end{matrix}$
(Graphiquement, la droite d'équation x = 0, c'est-à-dire l'axe des ordonnées du repère, est une asymptote « verticale » à la courbe représentative de la fonction f).

2. D'après la propriété des croissances comparées, on a :
$\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x \to +8} & \frac{\textrm{ln}\left ( x \right )}{x^{2}}\, = \, 0\\\end{matrix}$
(On dit de manière familière qu'une fonction puissance « l'emporte » sur la fonction logarithme népérien lorsque x tend vers $+\infty$ ).
Ainsi, par produit, on a :
$\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x \to +8} & \left ( -8 \right )\, \times \, \frac{\textrm{ln}\left ( x \right )}{x^{2}}\, = \, 0\\\end{matrix}$
Par somme, on a :
$\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x \to +8} & 1\, +\, \left ( -8 \right )\, \times \, \frac{\textrm{ln}\left ( x \right )}{x^{2}}\, = \, 0\, +\, 1\, = \, 1\\\end{matrix}$
De plus :
$\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x \to +8} & x^{2}\, = \, +\infty \\\end{matrix}$
Ainsi par produit :
$\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x \to +8} & x^{2}\, \times \, \left ( 1\, -\, 8\, \times \, \frac{\textrm{ln}\left ( x \right )}{x^{2}} \right )\, = \, +\infty \\\end{matrix}$
Donc :
$\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x \to +8} & f\left ( x \right )\, = \, +\infty \\\end{matrix}$

3. Pour tout réel x de ]0 ; $+\infty$ [ :
${f}'\left ( x \right )\, = \, 2x\, -\, 8\, \times \, \frac{1}{x}\, = \, \frac{2x}{1}\, -\, \frac{8}{x}\, = \, \frac{2x\, \times \, x}{1\, \times \, x}\, -\, \frac{8}{x}\,$
$= \, \frac{2x^{2}}{x}\, -\, \frac{8}{x}\, = \, \frac{2x^{2}\, -\, 8}{x}\, = \, \frac{2\, \times \, x^{2}\, -\, 2\, \times \, 4}{x}\, = \, \frac{2\, \times \, \left ( x^{2}\, -\, 4 \right )}{x}$
En effet :

x	0		2		$+\infty$
x − 2		−	1	+
x + 2		+	0	+
x	0	+	1	+
${f}'\left ( x \right )$	VI	−	0	+

La fonction dérivée de la fonction carrée est la fonction linéaire qui, à x, associe 2x.
La fonction dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction inverse.
La fonction dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des deux fonctions dérivées des deux fonctions.
On peut écrire tout réel sous la forme de ce réel sur 1.
On a une différence entre deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur. Pour pouvoir simplifier l'écriture, il faudrait que les deux fractions possèdent le même dénominateur. Sachant que l'on ne change pas la valeur d'une fraction lorsque l'on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même réel, alors on choisit pour la première fraction de multiplier son numérateur et son dénominateur par x. Ainsi, les deux fractions auront maintenant le même dénominateur.

4. Pour étudier les variations de la fonction f, nous allons étudier le signe de ${f}'\left ( x \right )$ lorsque x appartient à ]0 ; $+\infty$ [.
Le dénominateur de ${f}'\left ( x \right )$ est le réel x. Or x appartient à ]0 ; $+\infty$ [, donc le dénominateur de ${f}'\left ( x \right )$ est strictement positif.
Le numérateur de ${f}'\left ( x \right )$ est un polynôme du second degré. Pour pouvoir étudier son signe, deux méthodes sont possibles ici :

calcul du discriminant pour trouver les racines du polynôme, puis étude du signe du polynôme grâce au signe du coefficient multipliant x² ;
on remarque que l'on peut factoriser facilement le polynôme en un produit de facteurs du type mx + p et on étudie le signe de ces facteurs.

Utilisons la seconde méthode :
x² − 4 = x² −2² = (x − 2) × (x + 2)
Version LATEX du tableau :

En effet :
2 > 0
$x\, \in \, \left ]0\, ;\, +\infty \right [\, \Rightarrow \, x\, > 0 \Rightarrow x + 2 > 0 + 2$
$\Rightarrow x + 2 > 2 \Rightarrow x + 2 >$
On peut en déduire le tableau de variations de la fonction f.
En effet, pour une fonction f dérivable sur un intervalle I :

• si pour tout x de l'intervalle I ${f}'\left ( x \right )\, \geq \, 0$ , alors f est croissante sur I

• si pour tout x de l'intervalle I ${f}'\left ( x \right )\, \leq \, 0$ , alors f est décroissante sur I

D'après la dernière ligne du tableau de signes de ${f}'\left ( x \right )$ on lit que :

• pour tout x de l'intervalle ]0 ; 2] ${f}'\left ( x \right )\, \leq \, 0$ et que pour tout x de l'intervalle [2 ; $+\infty$ [ ${f}'\left ( x \right )\, \geq \, 0$ .

On peut donc en déduire que la fonction f est décroissante sur ]0 ; 2] et croissante sur [2 ; $+\infty$ [.
On peut également placer les deux limites étudiées aux questions 1 et 2 dans le tableau de variations.

Lorsque x = 2, alors {f}'

s'annule et change de signe. La fonction f admet donc un minimum atteint lorsque x = 2, il est égal à $f\left ( 2 \right )\, = \, 2^{2}\, -\, 8\textrm{ln}\left ( 2 \right )\, = \, 4\, -\, 8\textrm{ln}\left ( 2 \right )\, \approx \, -1,55$ .

5. La fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; 2] car {f}'

strictement négative sur ]0 ; 2] (sauf lorsque x = 2 où {f}'

s'annule).
La fonction f est continue sur ]0 ; 2] car elle est dérivable sur ]0 ; 2].
$\begin{matrix}\underset{x> 0}{\displaystyle \lim_{x \to 0}} & f\left ( x \right )\, = \, +\infty \\\end{matrix}$
f(2) < 0
Le réel 0 appartient à l'intervalle ]f(2) ; $+\infty$ [.
Donc d'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α appartenant à ]0 ; 2].

6. Avec toutes les informations, on peut affirmer que :

• La fonction f est strictement positive sur ]0 ; α[.

• La fonction f s'annule lorsque x = α.

• La fonction f est strictement négative sur ]α ; β[.

• La fonction f s'annule lorsque x = β.

• La fonction f est strictement positive sur ]β ; $+\infty$ ].

7. Pour tout réel k, la fonction g_k est dérivable sur ]0 ; $+\infty$ [ en tant que somme de fonctions dérivables sur ]0 ; $+\infty$ [.
Pour tout réel x de ]0 ; $+\infty$ [, ${g}'_{k}\left ( x \right )\, = \, 2x\, -\, 8\, \times \, \frac{1}{x}\, +\, 0\, = \, {f}'\left ( x \right ).$
Donc g_k et f ont le même sens de variation.
Donc g_k admet un minimum atteint lorsque x = 2 qui est égal à :
g_k(2) = 2² − 8ln(2) + k
« g_k positive sur ]0 ; $+\infty$ [ est équivalent à « le minimum de g_k est positif ».
On nous demande de chercher la plus petite valeur réelle de k tel que :
$g_{k}\left ( 2 \right )\, \geq \, 0$
$2^{2}\, -\, 8\textrm{ln}\left ( 2 \right )\, +\, k\, \geq \, 0$
$4\, -\, 8\textrm{ln}\left ( 2 \right )\, +\, k\, -\, 4\, +\, 8\textrm{ln}\left ( 2 \right )\, \geq 0\, -\, 4\, +\, 8\textrm{ln}\left ( 2 \right )$
$k\, \geq \, -4\, +\, 8\textrm{ln}\left ( 2 \right )$
Cette valeur est donc le nombre réel 8ln(2) − 4.

Voir le corrigé

Corrigé

x	0		2		$+\infty$
x − 2		−	1	+
x + 2		+	0	+
x	0	+	1	+
${f}'\left ( x \right )$	VI	−	0	+

calcul du discriminant pour trouver les racines du polynôme, puis étude du signe du polynôme grâce au signe du coefficient multipliant x² ;
on remarque que l'on peut factoriser facilement le polynôme en un produit de facteurs du type mx + p et on étudie le signe de ces facteurs.

Utilisons la seconde méthode :
x² − 4 = x² −2² = (x − 2) × (x + 2)
Version LATEX du tableau :

• si pour tout x de l'intervalle I ${f}'\left ( x \right )\, \geq \, 0$ , alors f est croissante sur I

• si pour tout x de l'intervalle I ${f}'\left ( x \right )\, \leq \, 0$ , alors f est décroissante sur I

D'après la dernière ligne du tableau de signes de ${f}'\left ( x \right )$ on lit que :

• pour tout x de l'intervalle ]0 ; 2] ${f}'\left ( x \right )\, \leq \, 0$ et que pour tout x de l'intervalle [2 ; $+\infty$ [ ${f}'\left ( x \right )\, \geq \, 0$ .

Lorsque x = 2, alors {f}'

5. La fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; 2] car {f}'

strictement négative sur ]0 ; 2] (sauf lorsque x = 2 où {f}'

6. Avec toutes les informations, on peut affirmer que :

• La fonction f est strictement positive sur ]0 ; α[.

• La fonction f s'annule lorsque x = α.

• La fonction f est strictement négative sur ]α ; β[.

• La fonction f s'annule lorsque x = β.

• La fonction f est strictement positive sur ]β ; $+\infty$ ].