Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs

Pour encadrer une fraction par deux entiers consécutifs, on peut utiliser la décomposition d'une fraction comme somme d'un entier et d'une fraction strictement inférieure à 1, si on la connaît.

Par exemple, $\frac{27}{4}$ = 6 + $\frac{3}{4}$ avec $\frac{3}{4}$ < 1, donc l'encadrement de $\frac{27}{4}$ par deux entiers consécutifs est :
6 < $\frac{27}{4}$ < 7.

On peut encadrer le numérateur de la fraction par des multiples du dénominateur.

6×4 = 24 < 27 < 7 × 4 = 28 donc $\frac{24}{4}=\frac{6\times 4}{4}$ < $\frac{27}{4}$ < $\frac{28}{4}=\frac{7\times 4}{4}$ .
L'encadrement de la fraction $\frac{27}{4}$ par deux entiers consécutifs est donc : 6 < $\frac{27}{4}$ < 7.

Exercice n°1

$Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs - illustration 1$

Sur la demi-droite graduée ci-dessus, on donne le point A d'abscisse fractionnaire $\frac{18}{4}$ .
Encadrez la fraction $\frac{18}{4}$ par deux entiers consécutifs.

Écrivez les réponses dans les zones colorées.

On a : < $\frac{18}{4}$ <

D'après la position du point A d'abscisse fractionnaire $\frac{18}{4}$ sur la demi-droite graduée, on a : 4 < $\frac{18}{4}$ < 5.

Exercice n°2

Encadrez la fraction $\frac{37}{7}$ par deux entiers consécutifs.

Écrivez les réponses dans les zones colorées.

On a : < $\frac{37}{7}$ <

7×5 = 35 < 37 < 7 × 6 = 42 donc $\frac{35}{7}=\frac{7\times 5}{7}$ < $\frac{37}{7}$ < $\frac{42}{7}=\frac{7\times 6}{7}$ .
L'encadrement de la fraction $\frac{37}{7}$ par deux entiers consécutifs est donc : 5 < $\frac{37}{7}$ < 6.

Exercice n°3

L'écriture de la fraction $\frac{49}{6}$ comme somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1 est : $\frac{49}{6}$ = 8 + $\frac{1}{6}$ .

Encadrez la fraction $\frac{49}{6}$ par deux entiers consécutifs.

Écrivez les réponses dans les zones colorées.

On a : < $\frac{49}{6}$ <

Si l'écriture de la fraction $\frac{49}{6}$ comme somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1 est $\frac{49}{6}$ = 8 + $\frac{1}{6}$ , on a :
8 < $\frac{49}{6}$ < 9.

Exercice n°4

Encadre la fraction $\frac{59}{8}$ avec deux entiers consécutifs.

Écrivez les réponses dans les zones colorées.

On a : < $\frac{59}{8}$ <

7×8 = 56 < 59 < 8 × 8 = 64 donc $\frac{56}{8}=\frac{7\times 8}{8}$ < $\frac{59}{8}$ < $\frac{64}{8}=\frac{8\times 8}{8}$ .
L'encadrement de la fraction $\frac{59}{8}$ par deux entiers consécutifs est donc : 7 < $\frac{59}{8}$ < 8.