Énoncé
Un panneau mural a pour dimensions 240 cm et 360 cm. On souhaite le recouvrir avec des carreaux de forme carrée, tous de même taille, posés bord à bord sans jointure.
1.
Peut-on utiliser des carreaux de : 10 cm de côté ? 14 cm de côté ? 18 cm de côté ?
Demandez-vous si 10, puis 14 et enfin 18 sont des diviseurs de 240 et de 360.
2.
Quelles sont toutes les tailles possibles de carreaux comprises entre 10 et 20 cm ?
Remarquez qu'il s'agit de déterminer les diviseurs de 240 et de 360 compris entre 10 et 20 cm.
3.
On choisit des carreaux de 15 cm de côté. On pose une rangée de carreaux bleus sur le pourtour et des carreaux blancs ailleurs. Combien de carreaux bleus va-t-on utiliser ?
Faites attention à ne pas compter deux fois certains carreaux.
Corrigé
1.
Pour pouvoir utiliser des carreaux de forme carrée de 10 cm de côté afin de recouvrir le panneau mural de dimensions 240 cm et 360 cm, il faut que 10 soit un diviseur de 240 et de 360.
240 = 24 × 10 et 360 = 36 × 10 donc on peut utiliser des carreaux de forme carrée de 10 cm de côté.
240 = 24 × 10 et 360 = 36 × 10 donc on peut utiliser des carreaux de forme carrée de 10 cm de côté.
De même, pour pouvoir utiliser des carreaux de forme carrée de 14 cm de côté, il faut que 14 soit un diviseur de 240 et de 360.
14 × 17 = 238 < 240 < 14 × 18 = 252 et 14 × 25 = 350 < 360 < 14 × 26 = 364 donc 14 n'est pas un diviseur de 240, ni de 360.
On ne peut donc pas utiliser des carreaux de forme carrée de 14 cm de côté.
14 × 17 = 238 < 240 < 14 × 18 = 252 et 14 × 25 = 350 < 360 < 14 × 26 = 364 donc 14 n'est pas un diviseur de 240, ni de 360.
On ne peut donc pas utiliser des carreaux de forme carrée de 14 cm de côté.
De même, avec des carreaux de forme carrée de 18 cm de côté :
18 × 13 = 234 < 240 < 18 × 14 = 247 et 360 = 18 × 20 donc 18 n'est pas un diviseur de 360, mais est un diviseur de 240.
On ne peut donc pas utiliser des carreaux de forme carrée de 18 cm de côté.
18 × 13 = 234 < 240 < 18 × 14 = 247 et 360 = 18 × 20 donc 18 n'est pas un diviseur de 360, mais est un diviseur de 240.
On ne peut donc pas utiliser des carreaux de forme carrée de 18 cm de côté.
2.
Comme à la question précédente, il s'agit de déterminer si la mesure (en cm) des carreaux de forme carrée est un diviseur 240 et de 360.
On a vu que la taille de 10 cm convenait et, 240 = 20 × 12 et 360 = 20 × 18, donc la taille de 20 cm convient aussi.
Cherchons si les autres valeurs conviennent.
On a vu que la taille de 10 cm convenait et, 240 = 20 × 12 et 360 = 20 × 18, donc la taille de 20 cm convient aussi.
Cherchons si les autres valeurs conviennent.
11 × 21 = 231 < 240 < 11 × 22 = 242 donc la taille de 11 cm ne convient pas.
240 = 12 × 20 et 360 = 12 × 30, donc la taille de 12 cm convient.
13 × 18 = 234 < 240 < 13 × 19 = 247 donc la taille de 13 cm ne convient pas.
14 × 17 = 238 < 240 < 14 × 18 = 252 donc la taille de 14 cm ne convient pas.
240 = 15 × 16 et 360 = 15 × 24, donc la taille de 15 cm convient.
240 = 16 × 15 mais 16 × 22 = 352 < 360 < 16 × 23 = 368, donc la taille de 16 cm ne convient pas.
17 × 14 = 238 < 240 < 17 × 15 = 255 donc la taille de 17 cm ne convient pas.
18 × 13 = 234 < 240 < 18 × 14 = 252 donc la taille de 18 cm ne convient pas.
19 × 12 = 228 < 240 < 19 × 13 = 247 donc la taille de 19 cm ne convient pas.
240 = 12 × 20 et 360 = 12 × 30, donc la taille de 12 cm convient.
13 × 18 = 234 < 240 < 13 × 19 = 247 donc la taille de 13 cm ne convient pas.
14 × 17 = 238 < 240 < 14 × 18 = 252 donc la taille de 14 cm ne convient pas.
240 = 15 × 16 et 360 = 15 × 24, donc la taille de 15 cm convient.
240 = 16 × 15 mais 16 × 22 = 352 < 360 < 16 × 23 = 368, donc la taille de 16 cm ne convient pas.
17 × 14 = 238 < 240 < 17 × 15 = 255 donc la taille de 17 cm ne convient pas.
18 × 13 = 234 < 240 < 18 × 14 = 252 donc la taille de 18 cm ne convient pas.
19 × 12 = 228 < 240 < 19 × 13 = 247 donc la taille de 19 cm ne convient pas.
Finalement, les tailles possibles de carreaux comprises entre 10 et 20 cm pour recouvrir le panneau mural sont : 10, 12, 15 et 20 cm.
3.
D'après la question précédente, la taille de 15 cm est une des valeurs qui convient.
240 = 15 × 16 et 360 = 15 × 24 donc le panneau mural est composé de 16 carreaux de forme carrée de 15 cm de côté en largeur et de 24 de ces mêmes carreaux en longueur.
240 = 15 × 16 et 360 = 15 × 24 donc le panneau mural est composé de 16 carreaux de forme carrée de 15 cm de côté en largeur et de 24 de ces mêmes carreaux en longueur.
Le pourtour en carreaux bleus est donc composé de 16 + 24 + 16 + 24 − 4 = 80 − 4 = 76 carreaux bleus, car les 4 carreaux aux coins du panneau mural ne doivent pas être comptés deux fois.
