Sujet zéro du ministère, 2017, exercice 1

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.

Un sac contient 6 jetons rouges, 2 jetons jaunes et des jetons verts.
La probabilité de tirer un jeton vert vaut 0,5.
Affirmation : le sac contient 4 jetons verts.

Remarquez que si la probabilité de tirer un jeton vert est 0,5, alors le nombre de jetons verts est égal à la moitié de l'ensemble des jetons.

En informatique, on utilise comme unités de mesure les multiples suivants de l'octet :
1 Ko = 10³ octets, 1 Mo = 10⁶ octets, 1 Go = 10⁹ octets, 1 To = 10¹² octets,
où Ko est l'abréviation de kilooctet, Mo celle de mégaoctet, Go celle de gigaoctet, To celle de téraoctet.
On partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun.
Affirmation : on obtient ainsi 25 dossiers.

Convertissez 1,5 To en gigaoctets.

Sur la figure codée ci-après, les points B, A et E sont alignés.
Affirmation : l'angle $\widehat{EAC}$ mesure $137^{\circ}$ .

Notez x la mesure de l'angle $\widehat{EAC}$ et exprimez ensuite la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ de deux façons.

Un verre de forme conique est complètement rempli.
On verse son contenu de sorte que la hauteur du liquide soit divisée par 2.
Affirmation : le volume du liquide est divisé par 6.

Remarquez que le cône que forme le liquide lorsque sa hauteur a été divisée par 2 est une réduction du cône que forme l'intérieur du verre rempli.

Voir le corrigé

Corrigé

L'affirmation est fausse.

Si le sac contenait 4 jetons verts, alors le sac contiendrait au total :
6 + 2 + 4 = 12 jetons.
La probabilité de tirer un jeton vert serait $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}\neq$ 0,5, donc l'affirmation est fausse.

Cherchons le nombre de jetons verts nécessaires, noté x, pour que la probabilité de tirer un jeton vert soit 0,5.
Si la probabilité de tirer un jeton vert est 0,5, on a $\frac{x}{6+2+x}$ = 0,5, puis :
x = 0,5 × (8 + x) = 0,5 × 8 + 0,5 × x = 4 + 0,5x et x − 0,5x = 0,5x = 4.
On a donc x = 2 × 4 = 8.
Pour que la probabilité de tirer un jeton vert dans ce sac soit 0,5, le sac doit contenir 8 jetons verts : autant de jetons verts que de jetons rouges et jaunes.

L'affirmation est vraie.

On a 1,5 To = 1,5 × 10³ Go = 1 500 Go.
$\frac{1~500}{60}$ = 25 donc si on partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun, on obtient 25 dossiers.

L'affirmation est fausse.

Notons x la mesure de l'angle $\widehat{EAC}$ et exprimons la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ de deux façons.
Les points B, A et E étant alignés, on a $\widehat{BAC}$ = $180^{\circ} - \widehat{EAC}$ = $180^{\circ} - x$ .
Aussi, la somme des angles d'un triangle étant de $180^{\circ}$ , on a :
$\widehat{ABC}$ + $\widehat{BCA}$ + $\widehat{BAC}$ = $180^{\circ}$ ;
$43^{\circ}$ + $43^{\circ}$ + $\widehat{BAC}$ = $180^{\circ}$ , car le triangle BAC est isocèle en A,
donc $\widehat{ABC}$ = $\widehat{BCA}$ = $43^{\circ}$ .
$\widehat{BAC}$ = $180^{\circ}$ − 2 × $43^{\circ}$ .

D'après les deux expressions de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ , on a :
$\widehat{BAC}$ = $180^{\circ} - x$ = $180^{\circ}$ − 2 × $43^{\circ}$ , donc x = 2 × $43^{\circ}$ = $86^{\circ}$ .

L'affirmation est fausse.

Le nouveau cône que forme le liquide lorsque sa hauteur a été divisée par 2 est une réduction de rapport 2 du cône que forme l'intérieur du verre rempli.
Or, une réduction de rapport k multiplie les volumes par k³, donc ici par $\frac{1}{2^3}$ = $\frac{1}{8}$ car k = $\frac{1}{2}$ .
Lorsque la hauteur du liquide est divisée par 2, le volume du liquide est divisé par 8.