Sujet Amérique du Nord, juin 2014, exercice 9

Énoncé

5 points

Certaines écluses ont des portes dites « busquées », qui forment un angle pointé vers l'amont de manière à résister à la pression de l'eau.

En vous appuyant sur le schéma ci-dessous, déterminer la longueur des portes au cm près.

Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.

Pensez à utiliser les propriétés du triangle isocèle, puis une relation trigonométrique pour calculer la longueur AP d'une porte busquée.

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Corrigé

PA = PB donc le triangle APB est isocèle en P.
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiatrice : on a donc AH = $\frac{\mathrm{AB}}{2}$ = $\frac{5,8}{2}$ = 2,9 m.

On a $\widehat{\mathrm{PAH}}$ = $90^{\circ}$ − $55^{\circ}$ = $35^{\circ}$ .
Dans le triangle PAH rectangle en H, on a :
cos( $\widehat{\mathrm{PAH}}$ ) = $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AP}}$ donc :
AP = $\frac{\mathrm{AH}}{\cos(\widehat{\mathrm{PAH}})}$ puis :
AP = $\frac{2,9}{\cos(35^{\circ})}\approx$ 3,54 m au centimètre près.

La longueur de chacune des deux portes dites « busquées » est de 3,54 m environ.