Sujet Centres étrangers, juin 2014, exercice 4

Énoncé

5 points

Paul en visite à Paris admire la Pyramide, réalisée en verre feuilleté au centre de la cour intérieure du Louvre.
Cette pyramide régulière a :

pour base un carré ABCD de côté 35 mètres ;
pour hauteur le segment [SO] de longueur 22 mètres.

Paul a tellement apprécié cette pyramide qu'il achète comme souvenir de sa visite une lampe à huile dont le réservoir en verre est une réduction à l'échelle $\frac{1}{500}$ de la vraie pyramide.
Le mode d'emploi de la lampe précise que, une fois allumée, elle brûle 4 cm³ d'huile par heure.
Au bout de combien de temps ne restera-t-il plus d'huile dans le réservoir ? Arrondir à l'unité d'heures.
Rappel : Volume d'une pyramide = un tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur.

Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée. Toute trace de recherche sera prise en compte lors de l'évaluation même si le travail n'est pas complètement abouti.

Commencez par calculer le volume de la pyramide SABCD en m³, puis calculez le volume de sa réduction à l'échelle $\frac{1}{500}$ en cm³.

Voir le corrigé

Corrigé

Le volume de la pyramide à base carrée SABCD est :
V = $\frac{A_{\mathrm{ABCD}} \times \mathrm{SO}}{3}$ = $\frac{35^2 \times 22}{3}$ = $\frac{26~950}{3}$ m³.

Une réduction de rapport $\frac{1}{500}$ multiplie les volumes par $(\frac{1}{500})^3$ = $\frac{1}{500^3}$ = $\frac{1}{125~000~000}$ .

Le volume de la lampe à huile qui est une réduction à l'échelle $\frac{1}{500}$ de la vraie pyramide est donc :
V' = $\frac{26~950}{3} \times \frac{1}{125~000~000}$ m³
V' = $\frac{26~950~000}{3} \times \frac{1}{125~000~000}$ dm³
V' = $\frac{26~950~000~000}{3} \times \frac{1}{125~000~000}$ cm³
V' = $\frac{26~950~000~000}{3 \times 125~000~000}$ cm³
V' = $\frac{26~950}{3 \times 125}$ cm³
V' = $\frac{26~950}{375}$ cm³
V' $\approx$ 71,9 cm³ au dixième près.

La lampe à huile brûle 4 cm³ d'huile par heure donc il ne restera plus d'huile au bout d'environ $\frac{71,9}{4} \approx$ 18 h arrondi à l'unité d'heures près.