Sujet Amérique du Nord, juin 2014, exercice 2

Énoncé

3 points
L'exercice suivant traite du thème « le canal du Midi »(1). Le vocabulaire spécifique est donné sur le schéma ci-dessous.
Amérique du Nord, juin 2014, exercice 2 - illustration 1
Pour amortir les chocs contre les autres embarcations ou le quai, les péniches sont équipées de « boudins » de protection.
Calculer le volume exact en cm3 du « boudin » de protection ci-dessous, puis arrondir au centième.
Amérique du Nord, juin 2014, exercice 2 - illustration 2
Rappel :
Volume d'un cylindre de révolution : V = πR2h
h désigne la hauteur du cylindre et R le rayon de la base.
Volume d'une boule : V = \frac{4}{3}π R3
R désigne le rayon de la boule.
Remarquez que le « boudin » de protection est composé d'un cylindre de diamètre 16 cm et de hauteur 50 cm et de deux demi-boules de diamètre 16 cm.
(1)Le canal du Midi est un canal qui rejoint l'Atlantique à la Méditerranée.

Corrigé

Le volume du cylindre de diamètre AC = 16 cm, donc de rayon 8 cm, et de hauteur 50 cm est :
V1 = π × 82 × 50 = π × 64 × 50 = 3 200π cm3.
Le volume des deux demi-boules de diamètre AC = 16 cm, donc de rayon 8 cm est :
V2\frac{4}{3}π × 83\frac{4 \times 512 \pi}{3}\frac{2~048 \pi}{3} cm3.
Le volume exact du « boudin » de protection est donc :
V = V1 + V2 = 3 200π + \frac{2~048 \pi}{3}\frac{9~600 \pi}{3}\frac{2~048 \pi}{3}\frac{11~648 \pi}{3} cm3.
On a V \approx 12 197,76 cm3 au centième près, en utilisant la touche « π » de la calculatrice.