Sujet Inde, avril 2014, exercice 4

Énoncé

7 points

Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipal, schématisés ci-dessous :

le parcours ACDA ;
le parcours AEFA.

Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s'approche le plus possible de 4 km.
Pouvez-vous les aider à choisir le parcours ? Justifier votre réponse.
Attention: la figure proposée au conseil municipal n'est pas à l'échelle, mais les codages et les dimensions données sont correctes.

Remarquez que le triangle AEF n'est pas forcément rectangle, donc que l'on ne peut pas utiliser les relations trigonométriques dans ce triangle.

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Corrigé

Le parcours ACDA a pour longueur AC + CD + DA.
Les longueurs AC = 1,4 km et CD = 1,05 km sont connues et il reste à calculer la longueur DA.

Le triangle ACD est rectangle en C, donc d'après le théorème de Pythagore :
DA² = AC² + CD² = 1,4² + 1,05² = 1,96 + 1,1025 = 3,0625, donc DA = $\sqrt{3,0625}$ = 1,75 km.

Le parcours ACDA a donc pour longueur AC + CD + DA = 1,4 + 1,05 + 1,75 = 4,2 km.

Le parcours AEFA a pour longueur AE + EF + AF.
Les longueurs AE = 1,3 km et AF = 1,6 km sont connues et il reste à calculer la longueur EF.

Dans le triangle AEF, E' $\in$ [AE], F' $\in$ [AF] et les droites (EF) et (E'F') sont parallèles.
Donc, d'après le théorème de Thalès :
$\frac{\mathrm{AE'}}{\mathrm{AE}}$ = $\frac{\mathrm{AF'}}{\mathrm{AF}}$ = $\frac{\mathrm{E'F'}}{\mathrm{EF}}$ , donc en particulier $\frac{\mathrm{AE'}}{\mathrm{AE}}$ = $\frac{\mathrm{E'F'}}{\mathrm{EF}}$ .
AE' = 0,5 km, AE = 1,3 km et E'F' = 0,4 km donc :
$\frac{0,5}{1,3}$ = $\frac{0,4}{\mathrm{EF}}$ puis :
0,5 × EF = 1,3 × 0,4 = 0,52 et :
EF = $\frac{0,52}{0,5}$ = 1,04 km.

Le parcours AEFA a donc pour longueur AE + EF + AF = 1,3 + 1,04 + 1,6 = 3,94 km.

4,2 − 4 = 0,2 > 0,06 = 4 − 3,94.
Le parcours dont la longueur s'approche le plus possible de 4 km est donc le parcours AEFA qui a pour longueur 3,94 km.