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Spécialité mathématiques - Travailler sur des sujets du bac
Orthogonalité et distances dans l'espace, sujet 2
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Orthogonalité et distances dans l'espace, sujet 2
Énoncé
On munit l'espace du repère orthonormé
.
Soit la pyramide régulière ABCDS à base carrée telle que :
![\left ( \mathrm{O}\, ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m1.png)
Soit la pyramide régulière ABCDS à base carrée telle que :
• O centre de la base ABCD ;
• A(–1 ; –1 ; 0), B(1 ; –1 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(–1 ; 1 ; 0) ;
•
.
![\mathrm{AS} = \mathrm{BS} = \mathrm{CS} = \mathrm{DS} = 3\sqrt{2}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m2.png)
![]() |
1.
a. Calculer AC.
b. Calculer le produit scalaire
de deux manières différentes pour en déduire l'angle
arrondi au degré près.
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m3.png)
![\widehat{\mathrm{CAS}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m4.png)
2.
On admet que S(0 ; 0 ; 4) Soient M, N, P et Q tels que :
• M milieu de l'arête [SC] ;
• N milieu de l'arête [SA] ;
• P vérifiant
;
![\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{11}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m5.png)
• Q vérifiant
.
![\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{11}{6}\overrightarrow{\mathrm{AD}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m6.png)
a. Calculer les coordonnées des points M, N, P et Q.
b. Calculer
et ![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NQ}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m8.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NP}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m7.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NQ}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m8.png)
c. En déduire les positions relatives de la droite (AM) et du plan (NPQ).
La bonne méthode
1.
a. Utiliser la formule de la distance entre deux points dans un repère orthonormé de l'espace.
b. Calculer le produit scalaire en utilisant la formule de polarisation
et la définition du produit scalaire
.
![\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\left (\left \| \vec{u} \right \| ^{2 }+\left \| \vec{v} \right \| ^{2}-\left \| \vec{u} -\vec{v}\right \| ^{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m9.png)
![\vec{u}\cdot \vec{v}= \left \| \vec{u} \right \| \times \left \| \vec{v} \right \| \times \mathrm{cos}\left ( \vec{u}, \vec{v} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m10.png)
2.
a. Utiliser la formule des coordonnées d'un milieu pour les points M et N. Utiliser l'égalité vectorielle pour les points P et Q.
b. Calculer le produit scalaire en utilisant les coordonnées.
c. Déduire des questions précédentes l'orthogonalité de vecteurs.
Corrigé
1.
a. ![\mathrm{AC}=\sqrt{\left (1-\left ( -1 \right ) \right )^{2}+\left ( 1-\left ( -1 \right ) \right )^{2}+\left ( 0-0 \right )^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m11.png)
![\mathrm{AC}=\sqrt{\left (1-\left ( -1 \right ) \right )^{2}+\left ( 1-\left ( -1 \right ) \right )^{2}+\left ( 0-0 \right )^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m11.png)
b. ![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{1}{2}\left ( \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right \| ^{2}+\left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2}-\left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m12.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{1}{2}\left ( \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right \| ^{2}+\left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2}-\left \| \overrightarrow{\mathrm{SC}} \right \| ^{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m13.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= \frac{1}{2}\left ( \sqrt{8}^{2}+\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2} -\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}\right )=4.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m14.png)
De plus,![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right \| \times \left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| \times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m15.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= 2\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}\times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right )=12\times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m16.png)
Donc
et ![\mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right ) = \frac{1}{3}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m18.png)
Par conséquent, on a![\widehat{\mathrm{CAS}}\approx 71^{\circ}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m19.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{1}{2}\left ( \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right \| ^{2}+\left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2}-\left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m12.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{1}{2}\left ( \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right \| ^{2}+\left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2}-\left \| \overrightarrow{\mathrm{SC}} \right \| ^{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m13.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= \frac{1}{2}\left ( \sqrt{8}^{2}+\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2} -\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}\right )=4.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m14.png)
De plus,
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right \| \times \left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| \times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m15.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= 2\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}\times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right )=12\times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m16.png)
Donc
![4 = 12 \times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m17.png)
![\mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right ) = \frac{1}{3}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m18.png)
Par conséquent, on a
![\widehat{\mathrm{CAS}}\approx 71^{\circ}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m19.png)
2.
a. M milieu de [SC], donc M a pour coordonnées
soit ![\mathrm{M}\left ( \frac{1}{2}\, ; \frac{1}{2}\, ; 2 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m21.png)
N milieu de [SA], donc N a pour coordonnées
soit ![\mathrm{N}\left ( \frac{-1}{2}\, ; \frac{-1}{2}\, ; 2 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m23.png)
On a
et
Or ![\overrightarrow{\mathrm{AP}}\begin{pmatrix}x_{p}+1\\y_{p}+1\\z_{p}\end{pmatrix}=\frac{11}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m26.png)
Donc![\left\{\begin{matrix}x_{p}+1=\frac{11}{6}\times 2\\y_{p}+1=\frac{11}{6}\times 0\\z_{p}=\frac{11}{6}\times 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{p}=\frac{8}{3}\\y_{p}=-1.\\z_{p}=0\end{matrix}\right.\: \: \mathrm{D'o\grave{u}}\: \mathrm{P}\left ( \frac{8}{3}\, ; -1;0\right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m27.png)
On a
et
. Or ![\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\begin{pmatrix}x_{Q}+1\\y_{Q}+1\\z_{Q}\end{pmatrix}=\frac{11}{6}\: \overleftarrow{\mathrm{AD}}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m30.png)
Donc![\left\{\begin{matrix}x_{Q}+1=\frac{11}{6}\times 0\\y_{Q}+1=\frac{11}{6}\times 2\\z_{Q}=\frac{11}{6}\times 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{Q}=-1\\y_{Q}=\frac{8}{3}\\z_{Q}=0\end{matrix}\right.\: \mathrm{D'o\grave{u}}\: \mathrm{Q}\left ( -1\, ; \frac{8}{3}\, ;0 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m31.png)
![\left ( \frac{1+0}{2}\, ; \frac{1+0}{2}\, ; \frac{0+4}{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m20.png)
![\mathrm{M}\left ( \frac{1}{2}\, ; \frac{1}{2}\, ; 2 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m21.png)
N milieu de [SA], donc N a pour coordonnées
![\left ( \frac{-1+0}{2}\, ; \frac{-1+0}{2}\, ; \frac{0+4}{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m22.png)
![\mathrm{N}\left ( \frac{-1}{2}\, ; \frac{-1}{2}\, ; 2 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m23.png)
On a
![\overrightarrow{\mathrm{AP}}\begin{pmatrix}x_{p}-\left ( -1 \right )\\y_{p}-\left ( -1 \right )\\z_{p}-0\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m24.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}1-\left ( -1 \right )\\-1-\left ( -1 \right )\\0-0\end{pmatrix}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m25.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AP}}\begin{pmatrix}x_{p}+1\\y_{p}+1\\z_{p}\end{pmatrix}=\frac{11}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m26.png)
Donc
![\left\{\begin{matrix}x_{p}+1=\frac{11}{6}\times 2\\y_{p}+1=\frac{11}{6}\times 0\\z_{p}=\frac{11}{6}\times 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{p}=\frac{8}{3}\\y_{p}=-1.\\z_{p}=0\end{matrix}\right.\: \: \mathrm{D'o\grave{u}}\: \mathrm{P}\left ( \frac{8}{3}\, ; -1;0\right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m27.png)
On a
![\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\begin{pmatrix}x_{Q}-\left ( -1 \right )\\y_{Q}-\left ( -1 \right )\\z_{Q}-0\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m28.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AD}}\begin{pmatrix}-1-\left ( -1 \right )\\1-\left ( -1 \right )\\0-0\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m29.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\begin{pmatrix}x_{Q}+1\\y_{Q}+1\\z_{Q}\end{pmatrix}=\frac{11}{6}\: \overleftarrow{\mathrm{AD}}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m30.png)
Donc
![\left\{\begin{matrix}x_{Q}+1=\frac{11}{6}\times 0\\y_{Q}+1=\frac{11}{6}\times 2\\z_{Q}=\frac{11}{6}\times 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{Q}=-1\\y_{Q}=\frac{8}{3}\\z_{Q}=0\end{matrix}\right.\: \mathrm{D'o\grave{u}}\: \mathrm{Q}\left ( -1\, ; \frac{8}{3}\, ;0 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m31.png)
b. On a
, soit
. On a
, soit
.
Donc![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NP}}=\frac{3}{2}\times \frac{19}{6}+\frac{3}{2}\times \left ( -\frac{1}{2} \right )+2\times \left ( -2 \right )=0.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m36.png)
D'autre part, on a
, soit
.
Donc![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NQ}}=\frac{3}{2}\times \left ( -\frac{1}{2} \right )+\frac{3}{2}\times \frac{19}{6}+2\times \left ( -2 \right )=0.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m39.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}-\left ( -1 \right )\\\frac{1}{2}-\left ( -1 \right )\\2-0\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m32.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\\2\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m33.png)
![\overrightarrow{\mathrm{NP}}\begin{pmatrix}\frac{8}{3}-\left ( \frac{-1}{2} \right )\\-1-\left (-\frac{1}{2} \right )\\0-2\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m34.png)
![\overrightarrow{\mathrm{NP}}\begin{pmatrix}\frac{19}{6}\\-\frac{1}{2}\\-2\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m35.png)
Donc
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NP}}=\frac{3}{2}\times \frac{19}{6}+\frac{3}{2}\times \left ( -\frac{1}{2} \right )+2\times \left ( -2 \right )=0.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m36.png)
D'autre part, on a
![\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\begin{pmatrix}-1-\left ( -\frac{1}{2} \right )\\\frac{8}{3}-\left ( -\frac{1}{2} \right )\\0-2\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m37.png)
![\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\\frac{19}{6}\\-2\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m38.png)
Donc
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NQ}}=\frac{3}{2}\times \left ( -\frac{1}{2} \right )+\frac{3}{2}\times \frac{19}{6}+2\times \left ( -2 \right )=0.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m39.png)
c. Le plan (NPQ) admet
et
comme vecteurs directeurs. Or
et
, donc
est un vecteur normal au plan (NPQ).
Par conséquent, la droite (AM) est orthogonale au plan (NPQ).
![\overrightarrow{\mathrm{NP}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m40.png)
![\overrightarrow{\mathrm{NQ}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m41.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NP}}=0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m42.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NQ}}=0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m43.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m44.png)
Par conséquent, la droite (AM) est orthogonale au plan (NPQ).
Corrigé
1.
a. ![\mathrm{AC}=\sqrt{\left (1-\left ( -1 \right ) \right )^{2}+\left ( 1-\left ( -1 \right ) \right )^{2}+\left ( 0-0 \right )^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m11.png)
![\mathrm{AC}=\sqrt{\left (1-\left ( -1 \right ) \right )^{2}+\left ( 1-\left ( -1 \right ) \right )^{2}+\left ( 0-0 \right )^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m11.png)
b. ![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{1}{2}\left ( \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right \| ^{2}+\left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2}-\left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m12.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{1}{2}\left ( \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right \| ^{2}+\left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2}-\left \| \overrightarrow{\mathrm{SC}} \right \| ^{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m13.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= \frac{1}{2}\left ( \sqrt{8}^{2}+\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2} -\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}\right )=4.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m14.png)
De plus,![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right \| \times \left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| \times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m15.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= 2\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}\times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right )=12\times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m16.png)
Donc
et ![\mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right ) = \frac{1}{3}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m18.png)
Par conséquent, on a![\widehat{\mathrm{CAS}}\approx 71^{\circ}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m19.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{1}{2}\left ( \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right \| ^{2}+\left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2}-\left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m12.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{1}{2}\left ( \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right \| ^{2}+\left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| ^{2}-\left \| \overrightarrow{\mathrm{SC}} \right \| ^{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m13.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= \frac{1}{2}\left ( \sqrt{8}^{2}+\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2} -\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}\right )=4.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m14.png)
De plus,
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= \left \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right \| \times \left \| \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right \| \times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m15.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}= 2\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}\times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right )=12\times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m16.png)
Donc
![4 = 12 \times \mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m17.png)
![\mathrm{cos}\left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AS}} \right ) = \frac{1}{3}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m18.png)
Par conséquent, on a
![\widehat{\mathrm{CAS}}\approx 71^{\circ}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m19.png)
2.
a. M milieu de [SC], donc M a pour coordonnées
soit ![\mathrm{M}\left ( \frac{1}{2}\, ; \frac{1}{2}\, ; 2 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m21.png)
N milieu de [SA], donc N a pour coordonnées
soit ![\mathrm{N}\left ( \frac{-1}{2}\, ; \frac{-1}{2}\, ; 2 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m23.png)
On a
et
Or ![\overrightarrow{\mathrm{AP}}\begin{pmatrix}x_{p}+1\\y_{p}+1\\z_{p}\end{pmatrix}=\frac{11}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m26.png)
Donc![\left\{\begin{matrix}x_{p}+1=\frac{11}{6}\times 2\\y_{p}+1=\frac{11}{6}\times 0\\z_{p}=\frac{11}{6}\times 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{p}=\frac{8}{3}\\y_{p}=-1.\\z_{p}=0\end{matrix}\right.\: \: \mathrm{D'o\grave{u}}\: \mathrm{P}\left ( \frac{8}{3}\, ; -1;0\right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m27.png)
On a
et
. Or ![\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\begin{pmatrix}x_{Q}+1\\y_{Q}+1\\z_{Q}\end{pmatrix}=\frac{11}{6}\: \overleftarrow{\mathrm{AD}}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m30.png)
Donc![\left\{\begin{matrix}x_{Q}+1=\frac{11}{6}\times 0\\y_{Q}+1=\frac{11}{6}\times 2\\z_{Q}=\frac{11}{6}\times 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{Q}=-1\\y_{Q}=\frac{8}{3}\\z_{Q}=0\end{matrix}\right.\: \mathrm{D'o\grave{u}}\: \mathrm{Q}\left ( -1\, ; \frac{8}{3}\, ;0 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m31.png)
![\left ( \frac{1+0}{2}\, ; \frac{1+0}{2}\, ; \frac{0+4}{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m20.png)
![\mathrm{M}\left ( \frac{1}{2}\, ; \frac{1}{2}\, ; 2 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m21.png)
N milieu de [SA], donc N a pour coordonnées
![\left ( \frac{-1+0}{2}\, ; \frac{-1+0}{2}\, ; \frac{0+4}{2} \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m22.png)
![\mathrm{N}\left ( \frac{-1}{2}\, ; \frac{-1}{2}\, ; 2 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m23.png)
On a
![\overrightarrow{\mathrm{AP}}\begin{pmatrix}x_{p}-\left ( -1 \right )\\y_{p}-\left ( -1 \right )\\z_{p}-0\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m24.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}1-\left ( -1 \right )\\-1-\left ( -1 \right )\\0-0\end{pmatrix}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m25.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AP}}\begin{pmatrix}x_{p}+1\\y_{p}+1\\z_{p}\end{pmatrix}=\frac{11}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m26.png)
Donc
![\left\{\begin{matrix}x_{p}+1=\frac{11}{6}\times 2\\y_{p}+1=\frac{11}{6}\times 0\\z_{p}=\frac{11}{6}\times 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{p}=\frac{8}{3}\\y_{p}=-1.\\z_{p}=0\end{matrix}\right.\: \: \mathrm{D'o\grave{u}}\: \mathrm{P}\left ( \frac{8}{3}\, ; -1;0\right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m27.png)
On a
![\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\begin{pmatrix}x_{Q}-\left ( -1 \right )\\y_{Q}-\left ( -1 \right )\\z_{Q}-0\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m28.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AD}}\begin{pmatrix}-1-\left ( -1 \right )\\1-\left ( -1 \right )\\0-0\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m29.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\begin{pmatrix}x_{Q}+1\\y_{Q}+1\\z_{Q}\end{pmatrix}=\frac{11}{6}\: \overleftarrow{\mathrm{AD}}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m30.png)
Donc
![\left\{\begin{matrix}x_{Q}+1=\frac{11}{6}\times 0\\y_{Q}+1=\frac{11}{6}\times 2\\z_{Q}=\frac{11}{6}\times 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{Q}=-1\\y_{Q}=\frac{8}{3}\\z_{Q}=0\end{matrix}\right.\: \mathrm{D'o\grave{u}}\: \mathrm{Q}\left ( -1\, ; \frac{8}{3}\, ;0 \right ).](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m31.png)
b. On a
, soit
. On a
, soit
.
Donc![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NP}}=\frac{3}{2}\times \frac{19}{6}+\frac{3}{2}\times \left ( -\frac{1}{2} \right )+2\times \left ( -2 \right )=0.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m36.png)
D'autre part, on a
, soit
.
Donc![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NQ}}=\frac{3}{2}\times \left ( -\frac{1}{2} \right )+\frac{3}{2}\times \frac{19}{6}+2\times \left ( -2 \right )=0.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m39.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}-\left ( -1 \right )\\\frac{1}{2}-\left ( -1 \right )\\2-0\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m32.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\\2\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m33.png)
![\overrightarrow{\mathrm{NP}}\begin{pmatrix}\frac{8}{3}-\left ( \frac{-1}{2} \right )\\-1-\left (-\frac{1}{2} \right )\\0-2\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m34.png)
![\overrightarrow{\mathrm{NP}}\begin{pmatrix}\frac{19}{6}\\-\frac{1}{2}\\-2\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m35.png)
Donc
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NP}}=\frac{3}{2}\times \frac{19}{6}+\frac{3}{2}\times \left ( -\frac{1}{2} \right )+2\times \left ( -2 \right )=0.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m36.png)
D'autre part, on a
![\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\begin{pmatrix}-1-\left ( -\frac{1}{2} \right )\\\frac{8}{3}-\left ( -\frac{1}{2} \right )\\0-2\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m37.png)
![\overrightarrow{\mathrm{NQ}}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\\frac{19}{6}\\-2\end{pmatrix}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m38.png)
Donc
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NQ}}=\frac{3}{2}\times \left ( -\frac{1}{2} \right )+\frac{3}{2}\times \frac{19}{6}+2\times \left ( -2 \right )=0.](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m39.png)
c. Le plan (NPQ) admet
et
comme vecteurs directeurs. Or
et
, donc
est un vecteur normal au plan (NPQ).
Par conséquent, la droite (AM) est orthogonale au plan (NPQ).
![\overrightarrow{\mathrm{NP}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m40.png)
![\overrightarrow{\mathrm{NQ}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m41.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NP}}=0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m42.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{NQ}}=0](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m43.png)
![\overrightarrow{\mathrm{AM}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde04_m44.png)
Par conséquent, la droite (AM) est orthogonale au plan (NPQ).
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