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Spécialité mathématiques - Travailler sur des sujets du bac
Orthogonalité et distances dans l'espace, sujet 2
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Énoncé
On munit l'espace du repère orthonormé
.
Soit la pyramide régulière ABCDS à base carrée telle que :

Soit la pyramide régulière ABCDS à base carrée telle que :
• O centre de la base ABCD ;
• A(–1 ; –1 ; 0), B(1 ; –1 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(–1 ; 1 ; 0) ;
•
.

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1.
a. Calculer AC.
b. Calculer le produit scalaire
de deux manières différentes pour en déduire l'angle
arrondi au degré près.


2.
On admet que S(0 ; 0 ; 4) Soient M, N, P et Q tels que :
• M milieu de l'arête [SC] ;
• N milieu de l'arête [SA] ;
• P vérifiant
;

• Q vérifiant
.

a. Calculer les coordonnées des points M, N, P et Q.
b. Calculer
et 


c. En déduire les positions relatives de la droite (AM) et du plan (NPQ).
La bonne méthode
1.
a. Utiliser la formule de la distance entre deux points dans un repère orthonormé de l'espace.
b. Calculer le produit scalaire en utilisant la formule de polarisation
et la définition du produit scalaire
.


2.
a. Utiliser la formule des coordonnées d'un milieu pour les points M et N. Utiliser l'égalité vectorielle pour les points P et Q.
b. Calculer le produit scalaire en utilisant les coordonnées.
c. Déduire des questions précédentes l'orthogonalité de vecteurs.
Corrigé
1.
a. 

b. 


De plus,

Donc
et 
Par conséquent, on a



De plus,


Donc


Par conséquent, on a

2.
a. M milieu de [SC], donc M a pour coordonnées
soit 
N milieu de [SA], donc N a pour coordonnées
soit 
On a
et
Or 
Donc
On a
et
. Or 
Donc


N milieu de [SA], donc N a pour coordonnées


On a



Donc

On a



Donc

b. On a
, soit
. On a
, soit
.
Donc
D'autre part, on a
, soit
.
Donc




Donc

D'autre part, on a


Donc

c. Le plan (NPQ) admet
et
comme vecteurs directeurs. Or
et
, donc
est un vecteur normal au plan (NPQ).
Par conséquent, la droite (AM) est orthogonale au plan (NPQ).





Par conséquent, la droite (AM) est orthogonale au plan (NPQ).
Corrigé
1.
a. 

b. 


De plus,

Donc
et 
Par conséquent, on a



De plus,


Donc


Par conséquent, on a

2.
a. M milieu de [SC], donc M a pour coordonnées
soit 
N milieu de [SA], donc N a pour coordonnées
soit 
On a
et
Or 
Donc
On a
et
. Or 
Donc


N milieu de [SA], donc N a pour coordonnées


On a



Donc

On a



Donc

b. On a
, soit
. On a
, soit
.
Donc
D'autre part, on a
, soit
.
Donc




Donc

D'autre part, on a


Donc

c. Le plan (NPQ) admet
et
comme vecteurs directeurs. Or
et
, donc
est un vecteur normal au plan (NPQ).
Par conséquent, la droite (AM) est orthogonale au plan (NPQ).





Par conséquent, la droite (AM) est orthogonale au plan (NPQ).
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