Sujet de métropole, juin 2018, exercice 3

Énoncé

12 points

Dans son lecteur audio, Théo a téléchargé 375 morceaux de musique. Parmi eux, il y a 125 morceaux de rap. Il appuie sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d'écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles.

Quelle est la probabilité qu'il écoute du rap ?

Donnez la probabilité sous la forme d'une fraction irréductible.

La probabilité qu'il écoute du rock est égale à $\frac{7}{15}$ .
Combien Théo a-t-il de morceaux de rock dans son lecteur audio ?

Notez x le nombre de morceaux de rock du lecteur audio de Théo et résolvez une équation simple.

Si Théo et Alice appuient tous les deux sur la touche « lecture aléatoire » de leur lecteur audio, lequel a le plus de chances d'écouter un morceau de rock ?

Il s'agit de comparer 40 % avec la fraction $\frac{7}{15}$ .

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Corrigé

Parmi les 375 morceaux de musique que Théo a téléchargés, il y a 125 morceaux de rap.
En appuyant sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d'écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles, la probabilité qu'il écoute du rap est donc de $\frac{125}{375}$ = $\frac{125}{3\times 125}$ = $\frac{1}{3}$ .

Notons x le nombre de morceaux de rock du lecteur audio de Théo.
Parmi les 375 morceaux de musique que Théo a téléchargés, il y a x morceaux de rock.
La probabilité que Théo écoute du rock est égale à $\frac{7}{15}$ , donc :
$\frac{x}{375} = \frac{7}{15}$
15 × x = 7 × 375 = 2 625 en utilisant l'égalité des produits en croix
x = $\frac{2~625}{15}$
x = 175.
Théo a donc 175 morceaux de rock dans son lecteur audio.

En appuyant sur la touche « lecture aléatoire », la probabilité que Théo écoute du rock est de $\frac{7}{15} \approx$ 0,47 au centième près.
La probabilité qu'Alice écoute du rock est de 40 % = $\frac{40}{100}$ = 0,40.
En appuyant sur la touche « lecture aléatoire », entre Alice et Théo, c'est donc Théo qui a le plus de chance d'écouter un morceau de rock.