Sujet de métropole, juin 2015, exercice 5

Énoncé

6 points

Agnès envisage de peindre la façade de son hangar.

Information 1. Caractéristiques de la peinture utilisée.
Renseignements concernant un pot de peinture

* Une seule couche de peinture suffit.

Information 2. Schéma de la façade.
(Le schéma n'est pas à l'échelle)
La zone grisée est la zone à peindre.

Quel est le montant minimum à prévoir pour l'achat des pots de peinture ?

Calculez l'aire du polygone ABCDE, puis déduisez-en le nombre (entier) de pots de peinture qu'Agnès doit acheter pour peindre cette surface.
Rappelez-vous que l'aire d'un triangle de la longueur de base B et de hauteur associée h est $\frac{B\times h}{2}$ .

Agnès achète la peinture et tout le matériel dont elle a besoin pour ses travaux. Le montant total de la facture est de 343,50 €.
Le magasin lui propose de régler $\frac{2}{5}$ de la facture aujourd'hui et le reste en trois mensualités identiques.
Quel sera le montant de chaque mensualité ?

Commencez par calculer le montant qu'Agnès règle aujourd'hui, puis déduisez-en le montant restant à payer en trois mensualités. Vous devez trouver un montant proche de 70 € pour chaque mensualité.
Une autre méthode plus rapide consiste à exprimer chaque mensualité sous la forme d'une fraction de 343,50 € et d'effectuer le calcul.

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Corrigé

Commençons par calculer l'aire du polygone ABCDE, qui est la somme de l'aire du rectangle ABDE et du triangle BCD.
L'aire du rectangle ABDE est AB × AE = 6 × 7,5 = 45 cm².
L'aire du triangle BCD est $\frac{3\mathrm{BD}}{2}$ = $\frac{3\times 7,5}{2}$ = 11,25 cm², car la hauteur de ce triangle est égale à 9 − 6 = 3 cm.
L'aire du polygone ABCDE est donc 45 + 11,25 = 56,25 cm².
Calculons ensuite le nombre de pots de peinture nécessaire pour peindre cette surface.
Chaque pot de peinture permet de peindre 24 m² de surface et :
2 × 24 = 48 < 56,25 < 3 × 24 = 72, donc Agnès doit acheter 3 pots de peinture pour peindre cette surface.
Le montant minimum à prévoir pour l'achat de pot de peinture est donc de 3 × 103,45 = 310,35 €.

Première méthode :
Aujourd'hui, Agnès règle $\frac{2}{5}$ × 343,50 = $\frac{2\times 343,50}{5}$ = $\frac{687}{5}$ = 137,40 €.
Il reste donc à régler en 3 mensualités identiques la somme de 343,50 − 137,40 = 206,10 €.
Le montant de chaque mensualité sera donc de $\frac{206,10}{3}$ = 68,70 €.
Deuxième méthode :
Agnès règle aujourd'hui deux cinquièmes de la facture, donc les trois mensualités identiques de la somme restant à payer représentent trois cinquièmes de la facture.
Le montant de chaque mensualité est donc d'un cinquième de la facture, c'est-à-dire : $\frac{1}{5}$ × 343,50 = $\frac{343,50}{5}$ = 68,70 €.