Utiliser le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle

Cas d'un triangle AIU rectangle en A

$\cos{I} = \frac{\mathrm{\circ{o}t\acute{e} adjacent}}{\mathrm{hypot\acute{e}nuse}}= \frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IU}}$
d'où IA = IU × cos Î ;
$\mathrm{IU} = \frac{\mathrm{IA}}{\cos{I}}$

Dans AIU, on a aussi : $\cos{U} = \frac{\mathrm{UA}}{\mathrm{UI}}$

Cas d'un triangle RAT rectangle en R

Dans le triangle RAT, AR = 3 ; RT = 4 ; AT = 5.

Utiliser le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle - illustration 2

$\cos{A} = \frac{\mathrm{c\circ{o}t\acute{e} adjacent}}{\mathrm{hypot\acute{e}nuse}}= \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AT}}$
$\cos{A} = 0,6$
d'où $\widehat{\mathrm{A}} = 53,13°$ (valeur approchée).

Attention à bien repérer le côté adjacent à l'angle (celui qui est « à côté de » l'angle).

Exercice n°1

En utilisant la calculatrice, détermine la mesure en degré de l'angle $\hat{A}$ .

Écrivez les réponses dans les zones colorées.

1. cos $\hat{A}$ = 0,8
→ $\hat{A}$ $\approx$ ° à 0,1° près.

2. cos $\hat{A}$ = 0,5
→ $\hat{A}$ $\approx$ ° à 0,1° près.

3. cos $\hat{A}$ = $\frac{2}{7}$
→ $\hat{A}$ $\approx$ ° à 0,1° près.

Exercice n°2

Calcule l'angle $\hat{I}$ et la distance OC (arrondie au centième).

Écrivez les réponses dans les zones colorées.

Utiliser le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle - illustration 3

IA = 6
IB = 3
cos $\hat{I}$ =
$\hat{I}$ = °

Utiliser le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle - illustration 4

OD = 7
$\hat{O}$ = 30°
cos $\hat{O}$ = 0,86
OC =

1. cos $\hat{I}$ = $\frac{IB}{IA}$ = 0,5.
Les touches INV COS de la calculatrice donnent : $\hat{I}$ = 60°.

2. cos $\hat{O}$ = $\frac{OD}{OC}$ .
Donc 0,86 = $\frac{7}{OC}$ et OC = 7 ÷ 0,86.

Exercice n°3

Utiliser le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle - illustration 5

Sur la figure ci-contre, chaque angle marqué mesure 30° et OA = 12 cm.
On veut calculer le périmètre p du périmètre OABC.

Complète le raisonnement.

Écrivez les réponses dans les zones colorées.

Dans le triangle OAB rectangle en B, on peut écrire :

OB|BO = OA × cos 30° = 12 × cos 30° (1)
AB|BA = OA × cos 60° = 12 × cos 60° = 12 × 0,5 = 6 (2)

Dans le triangle OBC rectangle en C, on peut écrire :

CO = OB|BO × cos 30° (3)
BC = OB|BO × cos 60° (4)

Compte tenu de l'égalité (1) et sachant que cos 60° = 0,5 on en déduit :

CO = 12 × (cos 30°)² (3)
BC = 6 × cos 60° (4)

p = OA + AB + BC + CO. En utilisant (1), (2), (3), (4), on obtient :
p = + × cos 30° + × (cos 30°)²
La calculatrice donne : p = 32,2 cm

Exercice n°4

Utiliser le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle - illustration 6

ABC est un triangle rectangle en A.
K est le pied de la perpendiculaire issue de A sur (BC).
On donne AB = 5 et BK = 3.

a. Coche la ou les bonne(s) réponse(s).

Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s).

cos $\widehat{\mathrm{ABK}}$ = $\frac{AB}{AK}$

ok	cos $\widehat{\mathrm{ABK}}$ = $\frac{BK}{AB}$

cos $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = $\frac{CK}{CA}$

b. Calcule $\widehat{\mathrm{ABK}}$ et $\widehat{\mathrm{BAK}}$

Écrivez les réponses dans les zones colorées.

$\widehat{\mathrm{ABK}}$ $\simeq$ ° à 0,1° près.
$\widehat{\mathrm{BAK}}$ $\simeq$ ° à 0,1° près.

a. Rappelle-toi que, dans le triangle IJK rectangle en J, cos $\hat{I}$ = $\frac{cot\acute{e} adjacent \grave{a} \hat{I}}{hypoth\acute{e}nuse}$

b. cos $\widehat{\mathrm{ABK}}$ = $\frac{3}{5}$ ; d'où $\widehat{\mathrm{ABK}}$ = 53,1°.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
$\widehat{\mathrm{ABK}}$ + $\widehat{\mathrm{BAK}}$ = 90°
D'où $\widehat{\mathrm{BAK}}$ = 36,9°.