Cas d'un triangle AIU rectangle en A
![]() |
![\cos{I} = \frac{\mathrm{\circ{o}t\acute{e} adjacent}}{\mathrm{hypot\acute{e}nuse}}= \frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IU}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m1.png)
d'où IA = IU × cos Î ;
![\mathrm{IU} = \frac{\mathrm{IA}}{\cos{I}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m2.png)
Dans AIU, on a aussi : ![\cos{U} = \frac{\mathrm{UA}}{\mathrm{UI}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m3.png)
![\cos{U} = \frac{\mathrm{UA}}{\mathrm{UI}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m3.png)
Cas d'un triangle RAT rectangle en R
Dans le triangle RAT, AR = 3 ; RT = 4 ; AT = 5.
![]() |
![\cos{A} = \frac{\mathrm{c\circ{o}t\acute{e} adjacent}}{\mathrm{hypot\acute{e}nuse}}= \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AT}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m4.png)
![\cos{A} = 0,6](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m5.png)
d'où
![\widehat{\mathrm{A}} = 53,13°](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m6.png)
Attention à bien repérer le côté adjacent à l'angle (celui qui est « à côté de » l'angle).
Exercice n°1
En utilisant la calculatrice, détermine la mesure en degré de l'angle
.
![\hat{A}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m7.png)
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
1. cos
= 0,8
→
° à 0,1° près.
![\hat{A}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m8.png)
→
![\hat{A}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m9.png)
![\approx](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m10.png)
2. cos
= 0,5
→
° à 0,1° près.
![\hat{A}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m11.png)
→
![\hat{A}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m12.png)
![\approx](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m13.png)
3. cos
=
→
° à 0,1° près.
![\hat{A}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m14.png)
![\frac{2}{7}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m15.png)
→
![\hat{A}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m16.png)
![\approx](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m17.png)
Exercice n°2
Calcule l'angle
et la distance OC (arrondie au centième).
![\hat{I}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m18.png)
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
1.
![]() |
IA = 6
IB = 3
cos
=
= °
IB = 3
cos
![\hat{I}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m19.png)
![\hat{I}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m20.png)
2.
![]() |
OD = 7
= 30°
cos
= 0,86
OC =
![\hat{O}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m21.png)
cos
![\hat{O}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m22.png)
OC =
1. cos
=
= 0,5.
Les touches INV COS de la calculatrice donnent :
= 60°.
![\hat{I}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m23.png)
![\frac{IB}{IA}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m24.png)
Les touches INV COS de la calculatrice donnent :
![\hat{I}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m25.png)
2. cos
=
.
Donc 0,86 =
et OC = 7 ÷ 0,86.
![\hat{O}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m26.png)
![\frac{OD}{OC}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m27.png)
Donc 0,86 =
![\frac{7}{OC}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m28.png)
Exercice n°3
![]() |
Sur la figure ci-contre, chaque angle marqué mesure 30° et OA = 12 cm.
On veut calculer le périmètre p du périmètre OABC.
On veut calculer le périmètre p du périmètre OABC.
Complète le raisonnement.
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
Dans le triangle OAB rectangle en B, on peut écrire :
- = OA × cos 30° = 12 × cos 30° (1)
- = OA × cos 60° = × cos 60° = × 0,5 = (2)
Dans le triangle OBC rectangle en C, on peut écrire :
- CO = × cos 30° (3)
- BC = × cos 60° (4)
- CO = × (cos 30°)2 (3)
- BC = × cos 60° (4)
p = OA + AB + BC + CO. En utilisant (1), (2), (3), (4), on obtient :
p = + × cos 30° + × (cos 30°)2
La calculatrice donne : p = 32,2 cm
p = + × cos 30° + × (cos 30°)2
La calculatrice donne : p = 32,2 cm
Exercice n°4
![]() |
ABC est un triangle rectangle en A.
K est le pied de la perpendiculaire issue de A sur (BC).
On donne AB = 5 et BK = 3.
K est le pied de la perpendiculaire issue de A sur (BC).
On donne AB = 5 et BK = 3.
a. Coche la ou les bonne(s) réponse(s).
Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s).
| ||
| ||
|
b. Calcule
et
![\widehat{\mathrm{ABK}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m35.png)
![\widehat{\mathrm{BAK}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m36.png)
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
![\widehat{\mathrm{ABK}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m37.png)
![\simeq](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m38.png)
![\widehat{\mathrm{BAK}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m39.png)
![\simeq](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m40.png)
a. Rappelle-toi que, dans le triangle IJK rectangle en J, cos
=
![\hat{I}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m41.png)
![\frac{cot\acute{e} adjacent \grave{a} \hat{I}}{hypoth\acute{e}nuse}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m42.png)
b. cos
=
; d'où
= 53,1°.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
+
= 90°
D'où
= 36,9°.
![\widehat{\mathrm{ABK}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m43.png)
![\frac{3}{5}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m44.png)
![\widehat{\mathrm{ABK}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m45.png)
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
![\widehat{\mathrm{ABK}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m46.png)
![\widehat{\mathrm{BAK}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m47.png)
D'où
![\widehat{\mathrm{BAK}}](https://static1.assistancescolaire.com/3/images/4mpj10_m48.png)