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Rendre irréductible une fraction
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Définition
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun (autre que 1).
Pour rendre irréductible une fraction, on simplifie le numérateur et le dénominateur par leur(s) diviseur(s) commun(s). Pour cela, on peut utiliser la décomposition en produits de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.
Exemples
Exemple 1
Rendre irréductible la fraction \frac{68}{51}.
On décompose 68 et 51 en produits de facteurs premiers.
68 = 2 × 34 = 2 × 2 × 17 = 22 × 17 et 51 = 3 × 17.
On a donc \frac{68}{51}=\frac{2^2\times 17}{3\times 17} =\frac{4}{3}, qui est une fraction irréductible.
Exemple 2
La fraction \frac{67}{15} est-elle irréductible ?
15 = 3 × 5 et on remarque que 67 n’est divisible ni par 3, ni par 5.
Les nombres 15 et 67 n'ont donc aucun diviseur commun autre que 1, donc la fraction \frac{67}{15} est irréductible.
Exemple 3
La fraction \frac{216}{126} est-elle irréductible ? Si ce n'est pas le cas, la rendre irréductible en détaillant les calculs.
216 et 126 sont divisibles par 2 donc la fraction n'est pas irréductible.
On décompose 216 et 126 en produits de facteurs premiers.
216 = 2 × 108 = 2 × 2 × 54 = 2 × 2 × 2 × 27 = 2 × 2 × 2 × 3 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 23 × 33.
126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 32 × 7.
On a donc \frac{216}{126}=\frac{2^3 \times 3^3}{2\times 3^2 \times 7}=\frac{2\times 3^2 \times 2^2 \times 3}{2\times 3^2 \times 7}=\frac{2^2 \times 3}{7}=\frac{12}{7} qui est une fraction irréductible.
Exercice n°1
Écris la fraction \frac{170}{238} sous la forme d'une fraction irréductible.
La fraction \frac{a}{b} sera notée a / b.
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
\frac{170}{238} =  /
On a 170 = 2 × 85 = 2 × 5 × 17 et 238 = 2 × 119 = 2 × 7 × 17.
On a donc \frac{170}{238}=\frac{2\times 5 \times 17}{2\times 7 \times 17}=\frac{5}{7}, qui est la forme irréductible de la fraction \frac{170}{238}.
Exercice n°2
Parmi ces propositions, quelle est la forme irréductible de la fraction \frac{682}{352} ?
Cochez la bonne réponse.
\frac{341}{176}
\frac{31}{16}
\frac{682}{352}
On a 682 = 2  ×  341 = 2  ×  11  ×  31 et 352 = 2  ×  176 = 2  ×  11  ×  16.
On a donc \frac{682}{352}=\frac{2\times 11 \times 31}{2\times 11 \times 16}=\frac{31}{16}, qui est la forme irréductible de la fraction \frac{682}{352}.
Exercice n°3
La fraction \frac{15}{52} est irréductible.
Cochez la bonne réponse.
Vrai
Faux
Vrai. On a 15 = 3 × 5 et 52 = 22 × 13. 15 et 52 n'ont donc aucun facteur commun et la fraction \frac{15}{52} est irréductible.
Exercice n°4
La fraction \frac{99}{132} est irréductible.
Cochez la bonne réponse.
Vrai
Faux
Faux. \frac{99}{132}=\frac{3\times 3 \times 11}{3\times 4\times 11}=\frac{3}{4}, donc la fraction \frac{99}{132} n'est pas irréductible.
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