Se ramener à une équation du type (ax + b)(cx+ d) = 0

Pour obtenir une équation du type : (ax + b)(cx + d) = 0, on doit :

(E) : 81x² – (x + 2)² = 0

• On reconnaît dans le membre de gauche la différence de deux carrés.

On factorise donc en utilisant :
a² – b² = (a + b)(a – b).

(E) : (9x + x + 2)(9x – x – 2) = 0

• On est ramené à une équation produit que l'on sait résoudre.
(E) admet deux solutions : $- \frac{1}{5}$ et $\frac{1}{4}$ .

(E) : x² – 9 = 2(x + 3)²

• On passe à gauche du signe égal tous les termes non nuls.
(E) : x² – 9 – 2(x + 3)² = 0

• On factorise la différence de deux carrés x² – 9 ; on met ainsi en évidence le facteur commun (x + 3).

(E) : (x – 3)(x + 3) – 2(x + 3)² = 0

(E) : (x + 3) [x – 3 – 2(x + 3)] = 0

(E) admet deux solutions : –3 et –9.

Exercice n°1

Soit l'équation (E) : (3x + 1)² = (x + 3)².
Résous-la en utilisant la méthode proposée.

Écrivez les réponses dans les zones colorées.

1. On rend le membre de droite égal à zéro et on factorise le membre de gauche. (E) devient :
(x + ) (x − ) = 0.

2. (E) admet donc deux solutions :
et (dans l'ordre croissant).

(3x + 1)² − (x + 3)² = 0

Rappelle-toi que :
a² − b² = (a + b) (a − b).

Applique cette relation à (E) avec :
a + b = (3x + 1) + (x + 3)
a + b = 4x + 4

a − b = (3x + 1) − (x + 3)
a − b = 2x − 2.

Exercice n°2

Soit l'équation (E) : x² − 4 = 3x − 6.
Résous-la en utilisant la méthode proposée.

Écrivez les réponses dans les zones colorées.

1. On rend le membre de droite égal à zéro. Dans le membre de gauche, on met alors en facteur :
(x ).

2. (E) admet donc deux solutions :
et (dans l'ordre décroissant).

• Pense que :
x² − 4 = (x − 2) (x + 2)
3x − 6 = 3 (x − 2).

• L'équation (E) s'écrit :
(x − 2) (x + 2) − 3 (x − 2) = 0
(x − 2) [(x + 2) − 3] = 0
(x − 2) (x − 1) = 0