Multiples, diviseurs et nombres premiers

I. Nombres entiers

Nombres entiers naturels

• Un entier naturel est un nombre entier qui est positif ou nul (égal à 0). L'ensemble des nombres entiers naturels est noté Ensemble N

• Exemples : $5 \in \mathbb{N}$ ; $2019\in \mathbb{N}$ ; $-2019\notin \mathbb{N}$

Nombres entiers relatifs

• Un entier relatif est un nombre entier qui est positif, négatif ou nul.

• L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté Ensemble Z

• Exemples : $-2019\in \mathbb{Z}$ ; $2019\in \mathbb{Z}$ ; $0,5\notin \mathbb{Z}$

II. Multiples et diviseurs

• Définition : Soit a et b deux entiers. On dit que a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = k b. On dit alors que b est un diviseur de a.

• Exemples :
2019 est un multiple de 3, car 2019 = k × 3 avec k = 673.
5 est un diviseur de 70, car 70 = k × 5 avec k = 14.
20 n'est pas un multiple de 3 car il n'existe pas d'entier k tel que 20 = k × 3.

• Algorithme : Déterminer si a est un mutiple de b.

• Remarque :
a//b donne le quotient de la division euclidienne de a par b.

• Propriété :
La somme de deux multiples d'un entier b est un multiple de b.

• Démonstration :
Soit x et y deux multiples de b.
Comme x est un multiple de b, il existe un entier k₁ tel que x = kb
Comme y est un multiple de b, il existe un entier m₂ tel que y = mb
Alors : x + y = k b + m b = (k + m)b
Or (k + m) est un entier donc x + y est un multiple de b.
Exercice n°1 Exercice n°2

III. Nombres pairs et impairs

• Définition :
Un nombre pair est un entier multiple de 2. Un nombre impair est un nombre qui n'est pas pair.

• Exemples :
2018, 2020 et 0 sont des nombres pairs.
2019, 11 et 1789 sont des nombres impairs.

• Propriétés :
Un nombre pair s'écrit de manière unique sous la forme 2k, avec k entier. Un nombre impair s'écrit de manière unique sous la forme 2k + 1, avec k entier. Le carré d'un nombre impair est impair.

• Démonstration :
Soit a est un nombre impair. Alors il s'écrit sous la forme a = 2k+1, avec k entier.
Alors a² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 = 2m + 1, avec m = 2k² + 2k.
m est un entier car il est la somme de deux entiers
Ainsi a² s'écrit sous la forme a = 2m + 1 (avec m entier) donc a² est impair.
Exercice n°3

IV. Nombres premiers

• Définition :
Un entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.

• Exemples :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sont des nombres premiers.

• Algorithme :
Déterminer si un nombre entier est premier.

• Remarque :
Le nombre 1 n'est pas premier car il ne possède qu'un seul diviseur : lui-même.

• Propriété :
Tout nombre non premier se décompose de manière unique en produit de nombres premiers.

• Exemple :
2019 = 673 × 3 ; 1492 = 2 × 2 × 373

• Définition :
On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.
On dit qu'une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Exercice n°4 Exercice n°5