R et ses sous-ensembles

« Le nombre entier vient de Dieu. Tout le reste est l'œuvre de l'Homme. » Kronecker (1823-1891).
Les entiers naturels ont été considérés à certaines époques comme une connaissance innée ou comme un don des dieux. Depuis, d'autres familles de nombres ont été « construites » pour résoudre de nouveaux problèmes : nombres décimaux pour améliorer les techniques opératoires, nombres relatifs pour tenir compte des échanges commerciaux, nombres rationels et irrationnels pour mesurer des grandeurs, etc.
Les intervalles sont des sous-ensembles particuliers, utiles pour noter l'ensemble des solutions d'une inéquation.

1. Comment déterminer à quel(s) ensemble(s) appartient un nombre ?

On distingue plusieurs ensembles de nombres.

•

est l'ensemble des nombres entiers ou entiers naturels.
Ensemble N

= $\left\{ {0\,;\;1\,;\;2\,;\;3\,;\;4\,;\;\ldots} \right\}$ .

•

est l'ensemble des nombres entiers relatifs.
Ensemble Z

= $\left\{ {\ldots\,;\; - 3\,;\; - 2\,;\; - 1\,;\;0\,;\;1\,;\;2\,;\;3\,;\;4\,;\;\ldots} \right\}$ .

•

est l'ensemble des nombres décimaux. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{{10^n }}$ avec $a \in$ Ensemble Z

et $n \in$ Ensemble N

; ces nombres ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
Par exemple : $\frac{7}{{25}} = \frac{{28}}{{10^2}} = 0,28$ est un décimal, mais $\frac{1}{3}$ n'est pas un décimal.

•

est l'ensemble des nombres rationnels. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a \in$ Ensemble Z

et $b \in$ Ensemble Z

* (ce sont donc des quotients d'entiers).
Par exemple : $- 12 = \frac{{ - 12}}{1}$ et $\frac{1}{3}$ sont des rationnels, mais $\sqrt 2$ n'est pas un rationnel.

•

est l'ensemble des nombres réels. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons ; on peut le représenter par une droite graduée :

Chaque nombre réel est représenté par un point et chaque point représente un réel.
Cet ensemble comprend des nombres irrationnels, c'est-à-dire des nombres réels qui ne sont pas rationnels. Ex. : $\pi$ , $\sqrt{2}$ .

• Ces ensembles de nombres vérifient les inclusions : Ensemble N

$\subset$

.
Ce qui signifie qu'un naturel est aussi un entier relatif, qu'un entier relatif est aussi un décimal, etc.

• Pour reconnaître la nature d'un nombre :
– on simplifie au maximum son écriture ;
– dans le cas d'un quotient irréductible $\frac{a}{b}$ , on effectue la division. Si elle se termine (si le reste est nul), $\frac{a}{b}$ est un décimal ; si elle ne se termine pas, on obtient une écriture périodique et $\frac{a}{b}$ est un rationnel qui n'est pas un décimal ;
– si on ne peut pas écrire le nombre comme un quotient d'entiers, alors c'est un irrationnel.
Exercice n°1 Exercice n°2

2. Comment utiliser les intervalles ?

• Soient a et b deux réels tels que $a \le b$ .
L'intervalle fermé $\left[ {a\,;\;b} \right]$ est l'ensemble des réels x tels que $a \le x \le b$ .
L'intervalle ouvert $\left] {a\,;\;b} \right[$ est l'ensemble des réels x tels que a < x < b.

L'intervalle ouvert $\left] { - \infty \,;\;a} \right[$ est l'ensemble des réels x tels que x < a.
L'intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé) $\left[ {a\,;\;b} \right[$ est l'ensemble des réels x tels que $a \le x < b$ .
On définit de même les intervalles $\left] {a\,;\;b} \right]$ , $\left] { - \infty \,;\;a} \right]$ , $\left[ {a\,;\; + \infty } \right[$ , $\left] {a\,;\; + \infty } \right[$ .
L'ensemble Ensemble R

lui-même peut être noté : $\left] { - \infty \,;\; + \infty } \right[$ .

• L'intersection de deux intervalles I et J est l'intervalle constitué des nombres qui appartiennent à la fois à I et à J.
La réunion de deux intervalles I et J est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (le « ou » est inclusif : on prend les nombres qui appartiennent à I, à J ou aux deux intervalles). Si I et J ont un point en commun, alors $I \cup J$ est un intervalle.

Exemple

Si $I = \left[ { - 1\,;\;9} \right]$ et $J = \left] {6\,;\;12} \right[$ , alors : $I \cap J = \left] {6\,;\;9} \right]$ et $I \cup J = \left[ { - 1\,;\;12} \right[$ .
Exercice n°3

3. Qu'est-ce que la valeur absolue ?

• Définition :la distance entre deux réels a et b est la différence entre le plus grand et le plus petit. Cette distance est notée $\mid$ a − b $\mid$ (ou encore $\mid$ b
$\mid$ a − b $\mid$ se lit « valeur absolue de a moins b ».

Exemples

$\mid$ 2019 − 5 $\mid$ est la distance entre les réels 5 et 2019. Cette distance est égale à 2019 − 5 = 2014.
$\mid$ −2 − 1515 $\mid$ est la distance entre les réels −2 et 1515. Cette distance est égale à 1515 − (−2) = 1517.

• Interprétation graphique : sur une droite graduée d'origine O, notons A le point d'abscisse a et B le point d'abscisse b.
$\mid$ a − b $\mid$ est la distance entre les points A et B, c'est-à-dire la longueur AB.

• Remarque :la distance entre deux réels est un nombre positif. Conséquence : $\mid$ a $\mid$ est la distance entre le réel a et le réel 0.

• Définition : pour tout réel a, $\sqrt{a^{2}}=\mid$ a $\mid$
Démonstration par disjonction de cas : a positif puis a négatif.

Exemple

$\mid$ 2019 $\mid=$ 2019 ; $\mid$ − 2019 $\mid=$ 2019.

• Propriété : soit a un réel, r est un réel strictement positif. $\mid$ x − a $\mid$ inférieur ou égal

r si et seulement si x appartient à l'intervalle [a − r ; a + r].

Exemple

14 $\in$ [10;20] car $\mid$ 15 − 14 $\mid$ inférieur ou égal

• Définition :Un réel x a pour valeur approchée à 10⁻ⁿ près le décimal a lorsque : $\mid$ x − a $\mid$ inférieur ou égal

10⁻ⁿ.

Exemple

$\mid$ 8,2019 − 8,2 $\mid$ inférieur ou égal

10⁻¹, on dit que 8,2 est une valeur approchée à 0,1 près de 8,2019.

Exercice n°4 Exercice n°5

4. Comment déterminer une valeur approchée ?

• Lorsque l'on veut écrire un nombre réel dans le système décimal et que celui-ci n'est pas un nombre décimal, on doit utiliser une valeur approchée.
Par exemple, $\frac{1}{3} \approx 0,3333333$ . Il n'y a pas égalité car les « 3 » continuent à l'infini.

• Une valeur approchée peut être définie par défaut ou par excès. On parle de valeur approchée à $10^{ - p}$ près, où p est un entier, quand la différence entre le nombre et sa valeur approchée est inférieure à $10^{ - p}$ .

• Pour déterminer la valeur approchée d'un nombre réel positif à n décimales :
– par défaut, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre (cela revient à supprimer les décimales qui suivent les n premières décimales) ;
– par excès, on prend la valeur approchée par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale (cela revient à ajouter $10^{ - n}$ à la valeur approchée par défaut) ;

• Pour déterminer la valeur approchée d'un nombre réel négatif à n décimales :
– par excès, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre ;
– par défaut, on prend la valeur approchée par excès et on ajoute 1 à la dernière décimale.

• Pour calculer l'arrondi d'un nombre réel à n décimales, on considère la troncature du nombre à n décimales, puis :
– si la n+1

-ième décimale est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors l'arrondi est la troncature ;
– si la n+1

-ième décimale du nombre réel est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on obtient l'arrondi en ajoutant 1 à la dernière décimale de la troncature.
Exercice n°6 Exercice n°7

5. Comment comparer deux nombres ?

• Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b − a est positive ou nulle. On écrit que $a \le b$ est équivalent à $b - a \ge 0$ .
Autrement dit, pour comparer deux nombres, on se ramène à un problème de signe.

• Pour comparer :
– deux nombres a et b : on étudie le signe de leur différence ;
– deux fractions : on les réduit à un même dénominateur positif et on compare leurs numérateurs comme indiqué ci-dessus ;
– deux radicaux : on peut comparer leurs carrés.

• Quelques règles fondamentales à connaître.

• Deux nombres ont le même signe si et seulement si leur produit est positif.

• Si a > 1, alors : $\sqrt{a} < a < a^2 < a^3$ .

• Si 0 < a < 1, alors : $\sqrt{a} > a > a^2 > a^3$ .

• Pour tous réels a, b et c, si $a \le b$ et $b \le c$ , alors $a \le c$ .

6. Comment manipuler des inégalités ?

Il s'agit de savoir comment « transformer » une inégalité à l'aide des opérations élémentaires.
Ici, a, b, c et d désignent des réels quelconques.

• Ajouter (ou soustraire) un nombre aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre. Si $a \le b$ , alors $a + c \le b + c$ .

• Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif conserve l'ordre. Si $a \le b$ et k > 0, alors $ka \le kb$ .

• Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement négatif change l'ordre. Si $a \le b$ et k < 0, alors $ka \ge kb$ .

• Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Si $a \le b$ et $c \le d$ , alors $a + c \le b + d$ .

• Si les nombres sont positifs, multiplier membre à membre deux inégalités de même sens, donne une inégalité de même sens. Si $0 < a \le b$ et $0 < c \le d$ , alors $ac \le bd$ .
Exercice n°8

À retenir

•

$\subset$

• L'intersection de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois aux deux intervalles.

• La réunion de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois à l'un, à l'autre ou aux deux intervalles à la fois.

• Pour comparer deux nombres a et b, on étudie le signe de leur différence.

• La valeur absolue d'un nombre positif est lui-même ; la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.

• La distance entre deux réels a et b est égale à la valeur absolue de leur différence, ce qui s'écrit $\left| {b - a}\right|$ .

Exercice n°1

Quelle est l'affirmation fausse ?

Cochez la bonne réponse.

ok	$\frac{{3\pi + 12}}{{\pi + 4}}$ est un irrationnel.

2 est un réel.

$\sqrt 2 + 1$ est un irrationnel.

• $2 \in$ Ensemble N

et comme

$\subset$

, on a en particulier : Ensemble N

$\subset$

. Donc 2 est un réel. L'affirmation est vraie. Ensemble N

est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient 2.

• $\sqrt 2 + 1$ ne peut pas s'écrire sous la forme d'un quotient, c'est donc bien un irrationnel. L'affirmation est vraie.

• $\frac{{3\pi + 12}}{{\pi + 4}} = \frac{{3\left( {\pi + 4} \right)}}{{\pi + 4}} = 3$ . C'est un entier, ce n'est donc pas un irrationnel. L'affirmation est fausse.

Exercice n°2

Quelle est l'affirmation fausse ?

Cochez la bonne réponse.

$\frac{{11}}{3} + \frac{2}{5} + \frac{{119}}{{15}} \in$ Ensemble N

$\frac{{ - \sqrt {500} }}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt {125} }} \in$ Ensemble Q

ok	$\frac{7}{{16}} \notin$

• On calcule $\frac{{11}}{3} + \frac{2}{5} + \frac{{119}}{{15}} = \frac{{55}}{{15}} + \frac{6}{{15}} + \frac{{119}}{{15}} = \frac{{180}}{{15}} = 12$ ; or 12 est un entier naturel, donc $12 \in$ Ensemble N

. L'affirmation est vraie.

• $\frac{{ - \sqrt {500} }}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt {125} }} = - \sqrt {\frac{{500 \times 8}}{{2 \times 125}}} = - \sqrt {16} = - 4$ ; or -4 est un entier relatif donc c'est aussi un rationnel ; $- 4 \in$ Ensemble Q

. L'affirmation est donc vraie.

• $\frac{7}{{16}} = 0,4375$ ou $\frac{7}{{16}} = \frac{{4~375}}{{10^4 }}$ , donc c'est bien un décimal et l'affirmation est fausse.

Exercice n°3

Soit les intervalles $I = \left[ {\sqrt 3 \,;\;7} \right[$ et $J = \left] {1\,;\;3\sqrt 2 } \right]$ . Quelle est l'affirmation fausse ?

Cochez la bonne réponse.

$I \cup J = \left] {1\,;\;7} \right[$

$I \cap J = \left[ {\sqrt 3 \,;\;3\sqrt 2 } \right]$

ok	$I \cap J = \left] {\sqrt 3 \,;\;3\sqrt 2 } \right[$

Le plus simple est de faire un petit schéma :

On voit ainsi que : $I \cup J = \left] {1\,;\;7} \right[$ et $I \cap J = \left[ {\sqrt 3 \,;\;3\sqrt 2 } \right]$ .

Exercice n°4

$\mid$ 12 − 23 $\mid=$ ?

Cochez la bonne réponse.

−11

−35

Exercice n°5

Le réel e vérifie $\mid$ 2019 − e $\mid$ inférieur ou égal

2, cela signifie que :

Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s).

ok	e est compris entre 2017 et 2021.

ok	e $\in$ [2017;2021].

ok	2019 − 2 e 2019 + 2.

e est un entier compris entre 2017 et 2021.

Exercice n°6

Quelle est l'affirmation fausse ?

Cochez la bonne réponse.

L'arrondi à 5 décimales de $\frac{{12}}{{57}}$ est 0,21053.

ok	La valeur approchée par excès à 6 décimales (ou $10^{ - 6}$ près) de $\frac{{12}}{{57}}$ est 0,210528.

La valeur approchée par défaut à 3 décimales (ou $10^{ - 3}$ près) de $\frac{{12}}{{57}}$ est 0,21.

Avec la calculatrice, on obtient : $\frac{{12}}{{57}} \approx 0,2105263158$ .

• L'arrondi à 5 décimales de $\frac{{12}}{{57}}$ est bien 0,21053. En effet, on considère la troncature du nombre à 5 décimales : 0,21052 ; comme la décimale suivante est 6, on ajoute 1 à la dernière décimale. L'affirmation est donc vraie.

• La valeur approchée par défaut à 3 décimales (ou $10^{ - 3}$ près) de $\frac{{12}}{{57}}$ est bien 0,210 soit 0,21. En effet, le réel étant positif, la valeur approchée par défaut à 3 décimales est la troncature du nombre à 3 décimales. L'affirmation est donc vraie.

• La valeur approchée par excès à 6 décimales (ou $10^{ - 6}$ près) de $\frac{{12}}{{57}}$ est 0,210527 et non pas 0,210528. En effet, le réel étant positif, on considère la troncature du nombre à 6 décimales : 0,210526 et on ajoute 1 à la dernière décimale. L'affirmation est donc fausse.

Exercice n°7

Quelle est l'affirmation fausse ?

Cochez la bonne réponse.

La valeur approchée par défaut à $10^{ - 3}$ près de $- \frac{{13}}{{15}}$ est -0,867.

L'arrondi à 3 décimales de $- \frac{{13}}{{15}}$ est -0,867.

ok	La valeur approchée par défaut à 3 décimales (ou $10^{ - 3}$ près) de $- \frac{{13}}{{15}}$ est -0,866.

• Ce réel est négatif, pour avoir la valeur approchée à 3 décimales (ou $10^{ - 3}$ près) par défaut, on prend la troncature à 3 décimales (ici : -0,866

) et on ajoute 1 à la dernière décimale ; ce qui nous donne ici : -0,867

Exercice n°8

Soient a et b deux réels non nuls, on considère les deux nombres : $A = \left( {a + b} \right)^2$ et B = a^2 + b^2

.
Alors :

Cochez la bonne réponse.

A est toujours plus petit que B.

ok	Quand a et b sont de même signe, A est plus grand que B.

A est toujours plus grand que B.

Pour comparer A et B, cherchons le signe de A - B

.
$A - B = \left( {a + b} \right)^2 - \left( {a^2 + b^2 } \right) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$ .
Si a et b sont de même signe, alors 2ab > 0 et A > B.
Si a et b sont de signes contraires, alors 2ab < 0 et A < B.