« Le nombre entier vient de Dieu. Tout le reste est l'œuvre de l'Homme. » Kronecker (1823-1891).
Les entiers naturels ont été considérés à certaines époques comme une connaissance innée ou comme un don des dieux. Depuis, d'autres familles de nombres ont été « construites » pour résoudre de nouveaux problèmes : nombres décimaux pour améliorer les techniques opératoires, nombres relatifs pour tenir compte des échanges commerciaux, nombres rationels et irrationnels pour mesurer des grandeurs, etc.
Les intervalles sont des sous-ensembles particuliers, utiles pour noter l'ensemble des solutions d'une inéquation.
Les entiers naturels ont été considérés à certaines époques comme une connaissance innée ou comme un don des dieux. Depuis, d'autres familles de nombres ont été « construites » pour résoudre de nouveaux problèmes : nombres décimaux pour améliorer les techniques opératoires, nombres relatifs pour tenir compte des échanges commerciaux, nombres rationels et irrationnels pour mesurer des grandeurs, etc.
Les intervalles sont des sous-ensembles particuliers, utiles pour noter l'ensemble des solutions d'une inéquation.
1. Comment déterminer à quel(s) ensemble(s) appartient un nombre ?
On distingue plusieurs ensembles de nombres.
•
est l'ensemble des nombres entiers ou entiers naturels.
=
.
![Ensemble N](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mn.png)
![Ensemble N](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mn.png)
![\left\{ {0\,;\;1\,;\;2\,;\;3\,;\;4\,;\;\ldots} \right\}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m1.png)
•
est l'ensemble des nombres entiers relatifs.
=
.
![Ensemble Z](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mz.png)
![Ensemble Z](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mz.png)
![\left\{ {\ldots\,;\; - 3\,;\; - 2\,;\; - 1\,;\;0\,;\;1\,;\;2\,;\;3\,;\;4\,;\;\ldots} \right\}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m2.png)
•
est l'ensemble des nombres décimaux. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme
avec
et
; ces nombres ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
Par exemple :
est un décimal, mais
n'est pas un décimal.
![Ensemble D](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/md.png)
![\frac{a}{{10^n }}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m3.png)
![a \in](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m4.png)
![Ensemble Z](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mz.png)
![n \in](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m5.png)
![Ensemble N](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mn.png)
Par exemple :
![\frac{7}{{25}} = \frac{{28}}{{10^2}} = 0,28](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m6.png)
![\frac{1}{3}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m7.png)
•
est l'ensemble des nombres rationnels. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme
avec
et
* (ce sont donc des quotients d'entiers).
Par exemple :
et
sont des rationnels, mais
n'est pas un rationnel.
![Ensemble Q](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mq.png)
![\frac{a}{b}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m8.png)
![a \in](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m9.png)
![Ensemble Z](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mz.png)
![b \in](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m10.png)
![Ensemble Z](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mz.png)
Par exemple :
![- 12 = \frac{{ - 12}}{1}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m11.png)
![\frac{1}{3}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m12.png)
![\sqrt 2](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m13.png)
•
est l'ensemble des nombres réels. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utilisons ; on peut le représenter par une droite graduée :
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mr.png)
![]() |
Chaque nombre réel est représenté par un point et chaque point représente un réel.
Cet ensemble comprend des nombres irrationnels, c'est-à-dire des nombres réels qui ne sont pas rationnels. Ex. :
,
.
Cet ensemble comprend des nombres irrationnels, c'est-à-dire des nombres réels qui ne sont pas rationnels. Ex. :
![\pi](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m14.png)
![\sqrt{2}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m15.png)
• Ces ensembles de nombres vérifient les inclusions :
.
Ce qui signifie qu'un naturel est aussi un entier relatif, qu'un entier relatif est aussi un décimal, etc.
![Ensemble N](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mn.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m16.png)
![Ensemble Z](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mz.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m17.png)
![Ensemble D](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/md.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m18.png)
![Ensemble Q](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mq.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m19.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mr.png)
Ce qui signifie qu'un naturel est aussi un entier relatif, qu'un entier relatif est aussi un décimal, etc.
• Pour reconnaître la nature d'un nombre :
– on simplifie au maximum son écriture ;
– dans le cas d'un quotient irréductible
, on effectue la division. Si elle se termine (si le reste est nul),
est un décimal ; si elle ne se termine pas, on obtient une écriture périodique et
est un rationnel qui n'est pas un décimal ;
– si on ne peut pas écrire le nombre comme un quotient d'entiers, alors c'est un irrationnel.
Exercice n°1Exercice n°2
– on simplifie au maximum son écriture ;
– dans le cas d'un quotient irréductible
![\frac{a}{b}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m20.png)
![\frac{a}{b}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m21.png)
![\frac{a}{b}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m22.png)
– si on ne peut pas écrire le nombre comme un quotient d'entiers, alors c'est un irrationnel.
Exercice n°1Exercice n°2
2. Comment utiliser les intervalles ?
• Soient a et b deux réels tels que
.
L'intervalle fermé
est l'ensemble des réels x tels que
.
L'intervalle ouvert
est l'ensemble des réels x tels que a < x < b.
![a \le b](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m23.png)
L'intervalle fermé
![\left[ {a\,;\;b} \right]](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m24.png)
![a \le x \le b](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m25.png)
L'intervalle ouvert
![\left] {a\,;\;b} \right[](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m26.png)
L'intervalle ouvert
est l'ensemble des réels x tels que x < a.
L'intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé)
est l'ensemble des réels x tels que
.
On définit de même les intervalles
,
,
,
.
L'ensemble
lui-même peut être noté :
.
![\left] { - \infty \,;\;a} \right[](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m27.png)
L'intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé)
![\left[ {a\,;\;b} \right[](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m28.png)
![a \le x < b](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m29.png)
On définit de même les intervalles
![\left] {a\,;\;b} \right]](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m30.png)
![\left] { - \infty \,;\;a} \right]](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m31.png)
![\left[ {a\,;\; + \infty } \right[](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m32.png)
![\left] {a\,;\; + \infty } \right[](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m33.png)
L'ensemble
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mr.png)
![\left] { - \infty \,;\; + \infty } \right[](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m34.png)
• L'intersection de deux intervalles I et J est l'intervalle constitué des nombres qui appartiennent à la fois à I et à J.
La réunion de deux intervalles I et J est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (le « ou » est inclusif : on prend les nombres qui appartiennent à I, à J ou aux deux intervalles). Si I et J ont un point en commun, alors
est un intervalle.
La réunion de deux intervalles I et J est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (le « ou » est inclusif : on prend les nombres qui appartiennent à I, à J ou aux deux intervalles). Si I et J ont un point en commun, alors
![I \cup J](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m35.png)
Exemple
3. Qu'est-ce que la valeur absolue ?
• Définition :la distance entre deux réels a et b est la différence entre le plus grand et le plus petit. Cette distance est notée
a − b
(ou encore
b
a − b
se lit « valeur absolue de a moins b ».
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m40.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m41.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m42.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m43.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m44.png)
Exemples
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m45.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m46.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m47.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m48.png)
• Interprétation graphique : sur une droite graduée d'origine O, notons A le point d'abscisse a et B le point d'abscisse b.
a − b
est la distance entre les points A et B, c'est-à-dire la longueur AB.
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m49.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m50.png)
• Remarque :la distance entre deux réels est un nombre positif. Conséquence :
a
est la distance entre le réel a et le réel 0.
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m51.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m52.png)
• Définition : pour tout réel a,
a![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m54.png)
Démonstration par disjonction de cas : a positif puis a négatif.
![\sqrt{a^{2}}=\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m53.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m54.png)
Démonstration par disjonction de cas : a positif puis a négatif.
Exemple
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m55.png)
![\mid=](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m56.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m57.png)
![\mid=](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m58.png)
• Propriété : soit a un réel, r est un réel strictement positif.
x − a![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m60.png)
r si et seulement si x appartient à l'intervalle [a − r ; a + r].
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m59.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m60.png)
![inférieur ou égal](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/s_le.png)
![]() |
Exemple
14
[10;20] car
15 − 14![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m63.png)
5.
![\in](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m61.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m62.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m63.png)
![inférieur ou égal](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/s_le.png)
• Définition :Un réel x a pour valeur approchée à 10−n près le décimal a lorsque :
x − a
10−n.
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m64.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m65.png)
![inférieur ou égal](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/s_le.png)
Exemple
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m66.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m67.png)
![inférieur ou égal](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/s_le.png)
4. Comment déterminer une valeur approchée ?
• Lorsque l'on veut écrire un nombre réel dans le système décimal et que celui-ci n'est pas un nombre décimal, on doit utiliser une valeur approchée.
Par exemple,
. Il n'y a pas égalité car les « 3 » continuent à l'infini.
Par exemple,
![\frac{1}{3} \approx 0,3333333](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m68.png)
• Une valeur approchée peut être définie par défaut ou par excès. On parle de valeur approchée à
près, où p est un entier, quand la différence entre le nombre et sa valeur approchée est inférieure à
.
![10^{ - p}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m69.png)
![10^{ - p}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m70.png)
• Pour déterminer la valeur approchée d'un nombre réel positif à n décimales :
– par défaut, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre (cela revient à supprimer les décimales qui suivent les n premières décimales) ;
– par excès, on prend la valeur approchée par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale (cela revient à ajouter
à la valeur approchée par défaut) ;
– par défaut, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre (cela revient à supprimer les décimales qui suivent les n premières décimales) ;
– par excès, on prend la valeur approchée par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale (cela revient à ajouter
![10^{ - n}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m71.png)
• Pour déterminer la valeur approchée d'un nombre réel négatif à n décimales :
– par excès, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre ;
– par défaut, on prend la valeur approchée par excès et on ajoute 1 à la dernière décimale.
– par excès, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre ;
– par défaut, on prend la valeur approchée par excès et on ajoute 1 à la dernière décimale.
• Pour calculer l'arrondi d'un nombre réel à n décimales, on considère la troncature du nombre à n décimales, puis :
– si la
-ième décimale est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors l'arrondi est la troncature ;
– si la
-ième décimale du nombre réel est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on obtient l'arrondi en ajoutant 1 à la dernière décimale de la troncature.
Exercice n°6Exercice n°7
– si la
![n+1](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m72.png)
– si la
![n+1](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m73.png)
Exercice n°6Exercice n°7
5. Comment comparer deux nombres ?
• Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b − a est positive ou nulle. On écrit que
est équivalent à
.
Autrement dit, pour comparer deux nombres, on se ramène à un problème de signe.
![a \le b](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m74.png)
![b - a \ge 0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m75.png)
Autrement dit, pour comparer deux nombres, on se ramène à un problème de signe.
• Pour comparer :
– deux nombres a et b : on étudie le signe de leur différence ;
– deux fractions : on les réduit à un même dénominateur positif et on compare leurs numérateurs comme indiqué ci-dessus ;
– deux radicaux : on peut comparer leurs carrés.
– deux nombres a et b : on étudie le signe de leur différence ;
– deux fractions : on les réduit à un même dénominateur positif et on compare leurs numérateurs comme indiqué ci-dessus ;
– deux radicaux : on peut comparer leurs carrés.
• Quelques règles fondamentales à connaître.
• Deux nombres ont le même signe si et seulement si leur produit est positif.
• Si a > 1, alors :
.
![\sqrt{a} < a < a^2 < a^3](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m76.png)
• Si 0 < a < 1, alors :
.
![\sqrt{a} > a > a^2 > a^3](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m77.png)
• Pour tous réels a, b et c, si
et
, alors
.
![a \le b](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m78.png)
![b \le c](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m79.png)
![a \le c](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m80.png)
6. Comment manipuler des inégalités ?
Il s'agit de savoir comment « transformer » une inégalité à l'aide des opérations élémentaires.
Ici, a, b, c et d désignent des réels quelconques.
Ici, a, b, c et d désignent des réels quelconques.
• Ajouter (ou soustraire) un nombre aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre. Si
, alors
.
![a \le b](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m81.png)
![a + c \le b + c](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m82.png)
• Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif conserve l'ordre. Si
et k > 0, alors
.
![a \le b](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m83.png)
![ka \le kb](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m84.png)
• Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement négatif change l'ordre. Si
et k < 0, alors
.
![a \le b](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m85.png)
![ka \ge kb](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m86.png)
• Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Si
et
, alors
.
![a \le b](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m87.png)
![c \le d](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m88.png)
![a + c \le b + d](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m89.png)
• Si les nombres sont positifs, multiplier membre à membre deux inégalités de même sens, donne une inégalité de même sens. Si
et
, alors
.
Exercice n°8
![0 < a \le b](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m90.png)
![0 < c \le d](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m91.png)
![ac \le bd](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m92.png)
Exercice n°8
À retenir
•
.
![Ensemble N](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mn.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m93.png)
![Ensemble Z](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mz.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m94.png)
![Ensemble D](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/md.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m95.png)
![Ensemble Q](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mq.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m96.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mr.png)
• L'intersection de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois aux deux intervalles.
• La réunion de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois à l'un, à l'autre ou aux deux intervalles à la fois.
• Pour comparer deux nombres a et b, on étudie le signe de leur différence.
• La valeur absolue d'un nombre positif est lui-même ; la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.
• La distance entre deux réels a et b est égale à la valeur absolue de leur différence, ce qui s'écrit
.
![\left| {b - a}\right|](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m97.png)
Exercice n°1
Quelle est l'affirmation fausse ?
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
•
et comme
, on a en particulier :
. Donc 2 est un réel. L'affirmation est vraie.
est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient 2.
![2 \in](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m100.png)
![Ensemble N](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mn.png)
![Ensemble N](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mn.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m101.png)
![Ensemble Z](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mz.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m102.png)
![Ensemble D](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/md.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m103.png)
![Ensemble Q](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mq.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m104.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mr.png)
![Ensemble N](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mn.png)
![\subset](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m105.png)
![Ensemble R](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mr.png)
![Ensemble N](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mn.png)
•
ne peut pas s'écrire sous la forme d'un quotient, c'est donc bien un irrationnel. L'affirmation est vraie.
![\sqrt 2 + 1](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m106.png)
•
. C'est un entier, ce n'est donc pas un irrationnel. L'affirmation est fausse.
![\frac{{3\pi + 12}}{{\pi + 4}} = \frac{{3\left( {\pi + 4} \right)}}{{\pi + 4}} = 3](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m107.png)
Exercice n°2
Quelle est l'affirmation fausse ?
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
• On calcule
; or 12 est un entier naturel, donc
. L'affirmation est vraie.
![\frac{{11}}{3} + \frac{2}{5} + \frac{{119}}{{15}} = \frac{{55}}{{15}} + \frac{6}{{15}} + \frac{{119}}{{15}} = \frac{{180}}{{15}} = 12](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m111.png)
![12 \in](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m112.png)
![Ensemble N](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mn.png)
•
; or -4 est un entier relatif donc c'est aussi un rationnel ;
. L'affirmation est donc vraie.
![\frac{{ - \sqrt {500} }}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt {125} }} = - \sqrt {\frac{{500 \times 8}}{{2 \times 125}}} = - \sqrt {16} = - 4](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m113.png)
![- 4 \in](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m114.png)
![Ensemble Q](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/mq.png)
•
ou
, donc c'est bien un décimal et l'affirmation est fausse.
![\frac{7}{{16}} = 0,4375](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m115.png)
![\frac{7}{{16}} = \frac{{4~375}}{{10^4 }}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m116.png)
Exercice n°3
Soit les intervalles
et
. Quelle est l'affirmation fausse ?
![I = \left[ {\sqrt 3 \,;\;7} \right[](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m117.png)
![J = \left] {1\,;\;3\sqrt 2 } \right]](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m118.png)
Cochez la bonne réponse.
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Le plus simple est de faire un petit schéma :
![]() |
On voit ainsi que :
et
.
![I \cup J = \left] {1\,;\;7} \right[](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m122.png)
![I \cap J = \left[ {\sqrt 3 \,;\;3\sqrt 2 } \right]](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m123.png)
Exercice n°4
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m124.png)
![\mid=](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m125.png)
Cochez la bonne réponse.
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Exercice n°5
Le réel e vérifie
2019 − e
2, cela signifie que :
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m126.png)
![\mid](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m127.png)
![inférieur ou égal](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/s_le.png)
Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s).
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Exercice n°6
Quelle est l'affirmation fausse ?
Cochez la bonne réponse.
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Avec la calculatrice, on obtient :
.
![\frac{{12}}{{57}} \approx 0,2105263158](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m134.png)
• L'arrondi à 5 décimales de
est bien 0,21053. En effet, on considère la troncature du nombre à 5 décimales : 0,21052 ; comme la décimale suivante est 6, on ajoute 1 à la dernière décimale. L'affirmation est donc vraie.
![\frac{{12}}{{57}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m135.png)
• La valeur approchée par défaut à 3 décimales (ou
près) de
est bien 0,210 soit 0,21. En effet, le réel étant positif, la valeur approchée par défaut à 3 décimales est la troncature du nombre à 3 décimales. L'affirmation est donc vraie.
![10^{ - 3}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m136.png)
![\frac{{12}}{{57}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m137.png)
• La valeur approchée par excès à 6 décimales (ou
près) de
est 0,210527 et non pas 0,210528. En effet, le réel étant positif, on considère la troncature du nombre à 6 décimales : 0,210526 et on ajoute 1 à la dernière décimale. L'affirmation est donc fausse.
![10^{ - 6}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m138.png)
![\frac{{12}}{{57}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m139.png)
Exercice n°7
Quelle est l'affirmation fausse ?
Cochez la bonne réponse.
| ||
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• Ce réel est négatif, pour avoir la valeur approchée à 3 décimales (ou
près) par défaut, on prend la troncature à 3 décimales (ici :
) et on ajoute 1 à la dernière décimale ; ce qui nous donne ici :
.
![10^{ - 3}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m145.png)
![-0,866](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m146.png)
![-0,867](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m147.png)
Exercice n°8
Soient a et b deux réels non nuls, on considère les deux nombres :
et
.
Alors :
![A = \left( {a + b} \right)^2](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m148.png)
![B = a^2 + b^2](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m149.png)
Alors :
Cochez la bonne réponse.
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| ||
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Pour comparer A et B, cherchons le signe de
.
.
Si a et b sont de même signe, alors 2ab > 0 et A > B.
Si a et b sont de signes contraires, alors 2ab < 0 et A < B.
![A - B](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m150.png)
![A - B = \left( {a + b} \right)^2 - \left( {a^2 + b^2 } \right) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m208_m151.png)
Si a et b sont de même signe, alors 2ab > 0 et A > B.
Si a et b sont de signes contraires, alors 2ab < 0 et A < B.