Les configurations du plan

Le théorème de Pythagore s'applique à un triangle rectangle ; le théorème de Thalès, à une figure qui comprend des droites parallèles coupées par deux sécantes. Pour conduire une démonstration dans un problème de géométrie plane, il faut savoir faire le lien entre une figure type et les propriétés qui lui sont associées.

1. Quelles propriétés peut-on utiliser dans un triangle rectangle ?

• Quand on veut mettre en relation les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, on utilise le théorème de Pythagore qui s'énonce ainsi : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

Par exemple, dans le triangle ABC rectangle en A, on a : ${\rm{BC}}^2 = {\rm{AB}}^2 + {\rm{AC}}^2$ .
Réciproquement, si on veut montrer qu'un triangle ABC est rectangle en A, il suffit de montrer la relation sur les longueurs des côtés : ${\rm{BC}}^2 = {\rm{AB}}^2 +{ \rm{AC}}^2$ .

• Quand on veut mettre en relation les angles et les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, on a recours aux formules de trigonométrie :
$\sin {\hat{\rm{A}}} = \frac{\rm{longueur~du~c\hat{o}t\acute{e}~oppos\acute{e}~\grave{a}~\hat{\rm{A}}}}{\rm{longueur~de~l'hypot\acute{e}nuse}}$ $\cos {\hat{\rm{A}}} = \frac{\rm{longueur~du~c\hat{o}t\acute{e}~adjacent~\grave{a}~\hat{\rm{A}}}}{\rm{longueur~de~l'hypot\acute{e}nuse}}$ $\tan {\hat{\rm{A}}} = \frac{\rm{longueur~du~c\hat{o}t\acute{e}~oppos\acute{e}~\grave{a}~\hat{\rm{A}}}}{\rm{longueur~du~c\hat{o}t\acute{e}~adjacent~\grave{a}~\hat{\rm{A}}}} = \frac{\sin{\hat{\rm{A}}}}{\cos{\hat{\rm{A}}}}$

Il faut aussi connaître la relation $\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha = 1$ .
Démonstration : Pour tout réel x de [0;90], cos²(x) + sin²(x) = 1.
Soit un triangle ABC rectangle en A. Soit x une mesure en degrés de l'angle géométrique $\widehat{ABC}$ (saillant et aigu).
$cos(x)=\frac{AB}{BC}$ et $sin(x)=\frac{AC}{BC}$ et BC² = AB² + AC² (égalité de Pythagore).
Ainsi :
$cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=(\frac{AB}{BC})^{2}+(\frac{AC}{BC})^{2}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{BC^{2}}{BC^{2}}=1$

• Voici une dernière propriété à laquelle il faut penser quand on a affaire à un triangle rectangle inscrit dans un cercle :

Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
Réciproquement, si on veut montrer qu'un triangle est rectangle, il suffit de montrer qu'il s'inscrit dans un demi-cercle.
Exercice n°1 Exercice n°2

2. Quelles propriétés peut-on utiliser lorsque la figure comprend deux droites parallèles coupées par une sécante ?

• Sur la figure ci-dessous, les droites d et d' déterminent avec la sécante Δ :
– des couples d'angles correspondants, qui sont placés de la même façon par rapport aux droites, par exemple le couple d'angles marqués en bleu ;
– des couples d'angles alternes internes, qui sont placés de part et d'autre de la sécante et situés entre les parallèles, par exemple le couple d'angles marqués en orange ;
– des couples d'angles alternes externes, qui sont placés de part et d'autre de la sécante et à l'extérieur des parallèles, par exemple le couple d'angles marqués en vert.

• Les droites d et d' étant parallèles, les angles de chacun de ces couples sont égaux entre eux. Ainsi les angles correspondants marqués en bleu ont pour même valeur α ; les angles alternes-internes marqués en orange ont pour même valeur β. les angles alternes-externes marqués en vert ont pour même valeur γ.

• Réciproquement, si deux droites d et d' et une sécante Δ déterminent des angles correspondants ou des angles alternes-internes ou des angles alternes-externes qui sont égaux, alors les droites d et d' sont parallèles.
Exercice n°3

3. Quelles propriétés peut-on utiliser lorsque la figure comprend deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes ?

Voici deux figures types dans lesquelles on peut appliquer le théorème de Thalès énoncé ci-dessous.

• Soit d et d' deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A et que C et N sont deux points de d' distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors $\rm \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ .

• Réciproquement, si les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C et si $\rm \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ , alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Exercice n°4

4. Quelle propriété peut-on utiliser lorsque la figure comprend des angles inscrits dans un cercle ?

• Sur la figure ci-dessous, les angles $\widehat{\rm{AIB}}$ , $\widehat{\rm{AKB}}$ et $\widehat{\rm{AJB}}$ sont des angles inscrits dans le cercle de centre O car leur sommet est sur le cercle et leurs côtés coupent le cercle. Ils interceptent les arcs de cercle AB, passant par J pour les angles $\widehat{\rm{AIB}}$ et $\widehat{\rm{AIB}}$ et passant par I pour l'angle $\widehat{\rm{AJB}}$ . L'angle $\widehat{\rm{AOB}}$ est appelé angle au centre.

• On retiendra la propriété suivante : des angles inscrits dans le même cercle qui interceptent le même arc sont égaux, sur le dessin ce sont les angles $\widehat{\rm{AIB}}$ et $\widehat{\rm{AKB}}$ . De plus, leur mesure est la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc, sur le dessin, l'angle $\widehat{\rm{AOB}}$ . Mais attention, les angles $\widehat{\rm{AIB}}$ et $\widehat{\rm{AJB}}$ n'ont pas la même mesure (les deux angles n'interceptent pas le même arc AB).
Exercice n°5 Exercice n°6 Exercice n°7 Exercice n°8

À retenir

• Le théorème de Pythagore énonce que, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

• Des droites parallèles déterminent avec une sécante des angles correspondants égaux, des angles alternes internes égaux et des angles alternes externes égaux.

• D'après le théorème de Thalès, si d et d' sont deux droites sécantes en A, avec B et M deux points de d distincts de A et C et N, deux points de d' distincts de A, et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors $\rm \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ .

• Des angles inscrits dans le même cercle qui interceptent le même arc sont égaux. De plus leur mesure est la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Exercice n°1

Une boule a laissé dans le sol une empreinte creuse ayant la forme d'une calotte sphérique de 12 cm de diamètre et de 2 cm de profondeur.

On a AB = 12 ; IM = 2. On note OA = R, le rayon de la boule.
Quelle est la mesure R du rayon de la boule ?

Cochez la bonne réponse.

10 cm

12 cm

14 cm

• En utilisant le dessin de la coupe, on applique le théorème de Pythagore au triangle OIA rectangle en I et on obtient l'égalité : $\rm {IO}^{2} + {IA}^{2} = {OA}^{2}$ .

• Comme IO = R − 2, $\rm {IA} = \frac{1}{2} {AB}$ et que OA = R, on obtient (R - 2)^2 + 36 = R^2

; on développe, ce qui donne R^2 - 4R + 4 + 36 = R^2

d'où −4R + 40 = 0 et R = 10.

Exercice n°2

Sur la figure ci-dessus (qui ne respecte pas les dimensions), on a représenté quatre points A, B, C et D sur un cercle de centre O et de diamètre [AB]. I est le point d'intersection des droites (AD) et (BC) et T le point d'intersection des droites (AC) et (BD).

Que représente I pour le triangle ATB ?

Cochez la bonne réponse.

le centre de gravité, point d'intersection des médianes du triangle

le centre de son cercle circonscrit, point d'intersection des médiatrices du triangle

ok	l'orthocentre, point d'intersection des hauteurs du triangle

• Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB], donc il est rectangle en C et (BC) est une hauteur du triangle ATB.

• De même, le triangle ABD est inscrit dans le cercle de diamètre [AB], donc il est rectangle en D et (AD) est une hauteur du triangle ATB.

• I est le point d'intersection de deux hauteurs du triangle ATB, donc la troisième hauteur passe aussi par I ; on en déduit que I est l'orthocentre du triangle.

Exercice n°3

Sur la figure ci-dessus, ABCD est un trapèze de bases (AD) et (BC), I est le point d'intersection des bissectrices des angles $\widehat{\rm{BAD}}$ et $\widehat{\rm{ABC}}$ . De plus, AB = 10 ; DA = 5 et BC = 6.

Pour démontrer que le triangle AIB est rectangle, on peut commencer par démontrer que les angles $\widehat{\rm{DAB}}$ et $\widehat{\rm{ABC}}$ sont supplémentaires. Pour cela, laquelle des propriétés suivantes utilise-t-on ?

Cochez la bonne réponse.

Les bissectrices d'un triangle sont concourantes.

ok	Des angles correspondants déterminés par des parallèles sont égaux.

Les angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires.

• Les angles $\widehat{\rm{DAB}}$ et $\widehat{\rm{CBV}}$ , définis par les parallèles (AD) et (BC) et la sécante (AV), sont des angles correspondants égaux.
Donc $\widehat{\rm{DAB}} = \widehat{\rm{CBV}}$ . Or $\widehat{\rm{ABC}} + \widehat{\rm{CBV}} = { 180}^\circ$ ; d'où $\widehat{\rm{ABC}} + \widehat{\rm{DAB}} = { 180}^\circ$ . On en déduit que les angles $\widehat{\rm{DAB}}$ et $\widehat{\rm{ABC}}$ sont supplémentaires.

• On termine ensuite en constatant que la somme des angles $\widehat{\rm{IAB}}$ et $\widehat{\rm{ABI}}$ est la moitié de celle des angles $\widehat{\rm{DAB}}$ et $\widehat{\rm{ABC}}$ c'est-à-dire la moitié de 180°, soit 90°.
Il reste alors 90° pour l'angle $\widehat{\rm{AIB}}$ , le triangle AIB est donc rectangle.

Exercice n°4

Configurations du plan - illustration 10

ABC est un triangle ; (AM) est la bissectrice de l'angle $\widehat{A}$ ; la parallèle à (AC) passant par B coupe la droite (AM) au point D.
Dans cette configuration on a :

Cochez la bonne réponse.

$\rm \frac{MC}{MB} = 1$ , car M est le milieu de [CD]

$\rm \frac{MC}{MB} = \frac{AM}{AD}$

ok	$\rm \frac{MC}{MB} = \frac{AC}{AB}$

• Les triangles AMC et BMD sont tels que :
– les points A, M, D sont alignés ;
– les points B, M, C sont alignés ;
– les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

• On peut donc appliquer le théorème de Thalès et conclure que $\rm \frac{MC}{MB} = \frac{MA}{MD} = \frac{AC}{BD}$ .

• Les angles $\widehat{\rm{CAM}}$ et $\widehat{\rm{MAB}}$ sont égaux ainsi que les angles alternes internes $\widehat{\rm{CAM}}$ et $\widehat{\rm{MDB}}$ .

• Conclusion les angles $\widehat{\rm{MAB}}$ et $\widehat{\rm{MDB}}$ sont égaux et le triangle ABD est isocèle. On peut alors conclure que BA = BD et que $\rm \frac{MC}{MB} = \frac{AC}{BD} = \frac{AC}{AB}$ .

Exercice n°5

Sur la figure ci-dessus, les droite (AB) et (CD) sont parallèles, ainsi que les droites (CB) et (DE). On a AB = x, BE = y, AI = 3, ID = 5 et DF = 10.

En appliquant trois fois le théorème de Thalès, et en utilisant un parallélogramme, on peut calculer x et y.
On a alors :

Cochez la bonne réponse.

ok	x = 3,6 et y = 6

x = 3 et y = 5

x = 4 et y = 6

• On applique le théorème de Thalès aux triangles AIB et CID pour trouver l'égalité : $\rm \frac{AB}{CD} = \frac{IA}{ID} = \frac{3}{5}$ .

• On applique le théorème de Thalès aux triangles OAB et OCD pour trouver l'égalité : $\rm \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$ .

• On applique le théorème de Thalès aux triangles OBE et ODF pour trouver l'égalité : $\rm{\frac{OB}{OD} = \frac{BE}{DF} = }\frac{y}{10}$ .

• On en déduit que $\rm{\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD} = \frac{BE}{DF}} = \frac{y}{10} = \rm{\frac{IA}{ID}} = \frac{3}{5}$ .
D'où $\frac{3}{5} = \frac{y}{10}$ et y = 6.
Le quadrilatère BEDC a ses côtés opposés deux à deux parallèles donc c'est un parallélogramme, et BE = CD = 6.
De l'égalité $\rm \frac{AB}{CD} = \frac{IA}{ID} = \frac{3}{5}$ on déduit que $\frac{x}{y} = \frac{3}{5}$ , soit $x = \frac{{3 \times 6}}{5} = 3,6$ .

Exercice n°6

Sur la figure ci-dessus, qui ne respecte pas les dimensions, on a quatre points A, B, C et D d'un cercle tels que : l'angle $\widehat{\rm{ABD}}$ mesure 35° et l'angle $\widehat{\rm{BAC}}$ mesure 55°.

Dans cette situation, le triangle AIC est :

Cochez la bonne réponse.

isocèle

rectangle

isocèle rectangle

• Les angles inscrits $\widehat{\rm{ABD}}$ et $\widehat{\rm{ACD}}$ interceptent le même arc donc ils ont la même mesure 35°.

• La somme des angles d'un triangle est égale à 180° donc la mesure de l'angle $\widehat{\rm{AIC}}$ est égale à :
$180 - \left( {35 + 55} \right) = 180 - 90 = 90$ .

• Le triangle AIC est bien rectangle mais, comme ses angles aigus ne sont pas égaux à 45°, il n'est pas isocèle.

Exercice n°7

Sur la figure ci-dessus (qui ne respecte pas les dimensions), on a représenté quatre points A, B, C et D sur un cercle tels que les angles $\widehat{\rm{AOB}}$ et $\widehat{\rm{COD}}$ soient égaux.

Dans cette configuration, les droites (AD) et (BC) sont :

Cochez la bonne réponse.

perpendiculaires

ok	parallèles

sécantes

Configurations du plan - illustration 11

• L'angle inscrit $\widehat{\rm{ADB}}$ intercepte le même arc que l'angle au centre $\widehat{\rm{AOB}}$ , sa mesure est la moitié de celle de l'angle $\widehat{\rm{AOB}}$ .
L'angle inscrit $\widehat{\rm{DBC}}$ intercepte le même arc que l'angle au centre $\widehat{\rm{COD}}$ , sa mesure est donc la moitié de celle de l'angle $\widehat{\rm{COD}}$ .
Comme les mesures des angles $\widehat{\rm{AOB}}$ et $\widehat{\rm{COD}}$ sont égales, il en est de même des mesures des angles $\widehat{\rm{ADB}}$ et $\widehat{\rm{DBC}}$ .

• Les droites (AD) et (BC) et la sécante (BD) déterminent deux angles qui sont en position d'angles alternes-internes et qui ont la même mesure. Les droites (AD) et (BC) sont donc parallèles.

Exercice n°8

La figure ci-dessus (qui ne respecte pas les dimensions) représente quatre points A, B, C et D sur un cercle de centre O et de diamètre [AB].
On a de plus : OA = 6,5 et $\widehat{\rm{BDC}} = { 60}^\circ$ .

Dans ce cas de figure, les côtés du triangle ABC rectangle en C sont tels que :

Cochez la bonne réponse.

AB = 13 ; AC = 5 et BC = 12

AB = 13 ; AC = $4\sqrt 3$ et BC = 11

ok	AB = 13 ; AC = 6,5 et BC = $6,5\sqrt 3$

• Le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [AB], donc il est rectangle en C.
Les angles $\widehat{\rm{BAC}}$ et $\widehat{\rm{BDC}}$ sont inscrits dans le cercle et interceptent le même arc, donc ils sont égaux.

• On en déduit que les angles du triangle ABC ont pour mesures 90° ; 60° et 30° ; ABC est un demi-triangle équilatéral. Dans ce type de triangle, les longueurs des côtés sont : longueur de l'hypoténuse 2a ; longueur du petit côté a et longueur du troisième côté $a\sqrt 3$ .
Donc les longueurs des côtés de ABC sont : AB = 13 ; AC = 6,5 et BC = $6,5\sqrt 3$