Probabilités : conditionnement

Les probabilités conditionnelles prennent en compte les informations concernant l'issue d'une expérience qui modifient la probabilité des événements liés à cette expérience. On parle de probabilités conditionnelles lorsque deux événements d'une expérience aléatoire se réalisent l'un après l'autre, on regarde alors l'influence du premier sur le second.

1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

Lecture d'un arbre

On considère une expérience aléatoire et deux événements A et B quelconques de probabilités non nulles. L'événement A est réalisé puis l'événement B.
On peut visualiser la situation en utilisant un arbre pondéré :

La probabilité de l'événement « B sachant que l'événement A est réalisé », notée P_A (B) peut se calculer en utilisant un arbre.
En effet on a : $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ donc $P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ .
Par analogie on en déduit que la probabilité de l'événement « A sachant que l'événement B est réalisé », notée P_B (A) sera égale à : $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ .
Exercice n°1

Propriétés

$P_{A}(B)+P_{A}(\overline{B})=1$ .
$P_{B}(A)=\frac{P(A)\times P_{A}(B)}{P(B)}$ .
Exercice n°2

2. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

Propriété

Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre. On doit donc avoir : P_A(B) = P(B).
A et B sont donc indépendants si et seulement si ${P(A\cap B)}=P(A)\times P(B)$ .

Remarque

Attention à ne pas confondre incompatibles et indépendants :

A et B sont donc incompatibles si et seulement si ${P(A\cap B)}=0$ ;
A et B sont donc indépendants si et seulement si ${P(A\cap B)}=P(A)\times P(B)$ .

Exercice n°3

3. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?

Cas d'une partition élémentaire avec et $\overline{A}$ .

Pour tout événement B on a : $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)$ .
Exercice n°4 Exercice n°5

4. Comment estimer la valeur de π grâce aux probabilités ?

Algorithme : Approximation de Pi par la méthode de Monte-Carlo

En choisissant mille points (n=1000) on obtient par exemple ceci :

À retenir

La probabilité de l'événement « B sachant que l'événement A est réalisé » (avec $P(A)\neq0$ ) est $P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ .
A et B sont indépendants si et seulement si ${P(A\cap B)}=P(A)\times P(B)$ .
$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)$ .

Exercice n°6 Exercice n°7 Exercice n°8

Exercice n°1

On considère l'arbre pondéré suivant :

À quoi est égale P_C (F) ?

Cochez la bonne réponse.

0,024

0,12

0,2

On cherche la probabilité que l'événement F se réalise sachant que l'événement C s'est déjà réalisé.
Par lecture de l'arbre on trouve que P_C (F) = 0,2.

Exercice n°2

Dans une population lycéenne, 40 % des élèves aiment les mathématiques, 30 % aiment la physique et 10 % aiment à la fois les mathématiques et la physique.
On prend un élève au hasard, la probabilité pour qu'il n'aime pas les mathématiques sachant qu'il aime la physique est égale à :

Cochez la bonne réponse.

0,15.

ok	$\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3}$ .

Soit A l'événement « l'élève aime les mathématiques » et B l'événement « l'élève aime la physique ».
On a P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,3 et $P(A\cap B)=0,1$ .
On cherche $P_{B}(\overline A)$ .
On sait que $P_{B}(\overline A)=1-P_{B}(A)$ .
Or $P_{B}(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,1}{0,3}=\frac{1}{3}$ .
Donc $P_{B}(\overline A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ .

Exercice n°3

On considère deux événements indépendants A et B tels que P(A) = 0,8 et $P(A\cap B)=0,2$ .
À quoi est égale : $P(A\cup B)$ ?

Cochez la bonne réponse.

0,6

0,85

0,25

On sait que $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .
On sait que A et B sont indépendants donc : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ .
On en déduit que $0,2=0,8\times P(B)$ .
D'où $P(B)=\frac{0,2}{0,8}=0,25$ .
Donc $P(A\cup B)=0,8+0,25-0,2=0,85$ .

Exercice n°4

On considère une urne contenant 8 jetons rouges, 3 jetons verts et 1 jeton jaune.
On procède à 3 tirages avec remise d'un jeton dans cette urne.
Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton rouge, puis un jeton vert et un jeton jaune ?

Cochez la bonne réponse.

$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{27}$

ok	$\frac{1}{72}$

Au total l'urne contient 12 jetons.
La probabilité d'obtenir un jeton rouge est égale à $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ .
La probabilité d'obtenir un jeton vert est égale à $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ .
La probabilité d'obtenir un jeton jaune est égale à $\frac{1}{12}$ .
Puisqu'à chaque tirage on remet le jeton tiré, les événements sont indépendants donc : $P(R\cap V\cap J)=P(R)\times P(V)\times P(J)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{12}=\frac{2\times 1\times 1}{3\times 4\times 12}=\frac{2}{144}=\frac{1}{72}$ .

Exercice n°5

On considère une urne contenant 8 jetons rouges, 3 jetons verts et 1 jeton jaune.
On procède à 3 tirages avec remise d'un jeton dans cette urne.
La probabilité d'obtenir un jeton rouge, puis un jeton vert et un jeton jaune est égale à la probabilité d'obtenir un jeton jaune, puis un jeton rouge et un jeton vert.

Cochez la bonne réponse.

vrai

faux

Puisqu'à chaque tirage on remet le jeton tiré, les événements sont indépendants donc : $P(R\cap V\cap J)=P(R)\times P(V)\times P(J)$ .
La multiplication est commutative (l'ordre n'a pas d'importance) donc :
$P(R)\times P(V)\times P(J)= P(J)\times P(R)\times P(V)=P(J\cap R\cap V)$ .
L'ordre n'a donc pas d'importance, l'affirmation est vraie.

Exercice n°6

On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. On considère les événements suivants :
C : « La carte est un cœur. »
F : « La carte est une figure (valet, roi ou dame). »
V : « La carte est un valet. »
Quels sont les deux événements dépendants ?

Cochez la bonne réponse.

C et F

C et V

F et V

$P(F)=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}$ et $P(V)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$ .
On calcule : $P(F)\times{P(V)}=\frac{3}{8}\times{\frac{1}{8}}=\frac{3}{64}$ .
Par ailleurs : $P(F\cap{V})=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$ .
Comme $P(F\cap{V})\neq{P(F)}\times{P(V)}$ , les événements F et V sont donc dépendants.

Exercice n°7

La roue de loterie représentée ci-après est partagée en six secteurs de même angle. Trois sont notés A, deux sont notés B et un est noté C. On fait tourner la roue.
Si elle s'arrête sur un secteur A, le joueur ne gagne rien.
Si elle s'arrête sur un secteur B, il gagne 2 €.
Si elle s'arrête sur un secteur C, il gagne 5 €.
On appelle X la variable aléatoire associée au gain du joueur pour un lancer de roue.

Probabilités : conditionnement - illustration 5

La probabilité d'un gain de 2 euros est donnée par :

Cochez la bonne réponse.

$P(X=2)=\frac{1}{2}$

ok	$P(X=2)=\frac{1}{3}$

$P(X=2)=\frac{1}{6}$

• Deux secteurs sur six rapportent 2 euros. Donc : $P(X=2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ .

Exercice n°8

Probabilités : conditionnement - illustration 6

L'espérance mathématique de X est donnée par :

Cochez la bonne réponse.

E(X) = 1

ok	E(X) = 1,5

E(X) = 2

• La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :

x_i	0	2	5	Total
P(X = x_i)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	1

D'où : $E(X)=0\times\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{3}+5\times\frac{1}{6}=\frac{9}{6}=1,5$ .
Pour un grand nombre de jeux, on peut espérer gagner en moyenne 1,5 €.

Probabilités : conditionnement

1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

Lecture d'un arbre

Propriétés

2. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

Propriété

Remarque

3. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?

Cas d'une partition élémentaire avec et .

4. Comment estimer la valeur de π grâce aux probabilités ?

À retenir

Cas d'une partition élémentaire avec et $\overline{A}$ .