Phénomènes d'évolution : nombre dérivé

I. Qu'est-ce qu'une tangente à une courbe ?

• Si l'on considère une courbe représentative d'une fonction et que l'on zoome très fortement sur un point de la courbe, alors on peut remarquer que localement autour du point la courbe a l'apparence d'une droite.

• Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit a un réel de I. On munit le plan d'un repère et on note C_f la courbe représentative de f. Soit A le point de C_f d'abscisse a. Soit M un point de C_f distinct de A. La droite (AM) est sécante à la courbe C_f : elle coupe C_f en deux points (A et M).

• Lorsque l'on approche le plus possible le point M du point A, alors la position limite des sécantes passant par A est la tangente à C_f (si elle existe) au point A.
Illustration :

• (AM) est sécante à C_f.

• M est aussi proche de A (sans être confondu avec A) que possible, la droite « frôle » la courbe C_f et admet localement un unique point de contact : A. Elle est la position limite des sécantes : c'est la tangente T.

II. Qu'est-ce que le nombre dérivé d'une fonction en un réel ?

• Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit a un réel de I. On munit le plan d'un repère et on note C_f la courbe représentative de f. Si C_f admet une unique tangente T (non verticale) au point A d'abscisse a, alors on dit que le nombre dérivé de f en a est égal au coefficient directeur de la tangente T.

• Exemple :

• On considère la fonction carré qui, à un réel x, lui associe son carré x². On la note f.

• On considère le point A d'abscisse 2 appartenant à C_f. On a donc A(2 ; f(2)) soit A(2 ; 2²) ou A(2 ; 4).

• On a tracé T la tangente à C_f au point A.

• On nous donne le point B(3 ; 8) qui appartient à T.

• La droite (AB) est donc la tangente T.

• Pour calculer le coefficient directeur de (AB), on utilise la formule suivante :
$\frac{y_{B}\: -\: y_{A}}{x_{B}\: -\: x_{A}}\: =\: \frac{8\: -\: 4}{3\: -\: 2}\: =\: \frac{4}{1}\: =\: 4$

• Donc le coefficient directeur de T est égal à 4.

• Ainsi on dira que le nombre dérivé de la fonction carré en 2 est égal à 4.Exercice n°1

• Notation : Si le nombre dérivé d'une fonction f en un réel a existe, alors il est noté $f{}'\left ( a \right )$ .

III. Comment interpréter le nombre dérivé dans l'étude de l'évolution d'un phénomène ?

• Lorsqu'une fonction est croissante sur un intervalle, on peut être amené à vouloir quantifier sa croissance, c'est-à-dire à déterminer sa vitesse de croissance.

• Si une fonction croissante f modélise l'évolution d'une grandeur selon le temps, alors le nombre dérivé de f en a (quand il existe) représente la vitesse d'évolution à l'instant a (vitesse instantanée).

• Si une fonction décroissante f modélise l'évolution d'une grandeur selon le temps, alors l'opposé du nombre dérivé de f en a (quand il existe) représente la vitesse d'évolution à l'instant a (vitesse instantanée).

• Exemple : On lâche une balle en plastique du haut d'un immeuble d'une hauteur de 200 mètres (sans personne en dessous). On considère la fonction d qui à x secondes écoulées depuis le lâcher de la balle associe la distance parcourue (en mètres) par la balle. D'après un physicien, on peut admettre que pour tout x de [0 ; 10] : d(x) = 4,9x².

• On obtient la représentation graphique suivante à l'aide du logiciel de géométrie dynamique.

• La tangente T à C_d au point A d'abscisse 2 a été tracée. On va pouvoir déterminer le nombre dérivé de d en 2.
Cherchons l'ordonnée de A. A(2 ; d(2)), car $A\: \in \: C_{d}$ . d(2) = 4,9 × 2² = 19,6. Ainsi A(2 ; 19,6).
La tangente semble couper l'axe des abscisses en B(1 ; 0).
La droite (AB) est donc la tangente T.
Calculons le coefficient directeur de (AB) :
$\frac{y_{B}\: -\: y_{A}}{x_{B}\: -\: x_{A}}\: =\: \frac{0\: -\: 19,6}{1\: -\: 2}\: =\: \frac{-19,6}{-1}\: =\: 19,6$
Donc $d{}'\left ( 2 \right )\: =\: 19,6$ .

• Cela signifie que 2 secondes après avoir lâché la balle, sa vitesse instantanée est de 19,6 m/s.
On peut d'ailleurs conjecturer graphiquement que cette vitesse va augmenter au fil du temps (jusqu'à l'impact a priori).
Exercice n°2

IV. Comment déterminer graphiquement l'équation réduite d'une tangente à une courbe ?

• Méthode : On va lire graphiquement les coordonnées de deux points appartenant à la tangente. Le premier point est souvent le point de contact local avec la courbe représentative de la fonction. Pour le second point, on peut essayer de privilégier le point d'intersection entre la courbe et l'axe des ordonnées, sinon on sélectionne un point dont on arrive à lire facilement les coordonnées (souvent entières).

• Propriété : L'équation réduite d'une tangente T à une courbe C_f au point d'abscisse a (non parallèle à l'axe des ordonnées) est l'unique égalité de la forme y = mx + p (avec m et p qui sont deux réels à déterminer), vérifiée par les coordonnées des points de T.

• Remarque : Le réel m est le nombre dérivé de la fonction f en a. C'est-à-dire $m\: =\: f{}'\left ( a \right )$ .
Le réel p est l'ordonnée à l'origine de T, c'est l'ordonnée du point d'intersection entre T et l'axe des ordonnées. On peut soit déterminer p graphiquement (lorsque cela est possible), soit par le calcul.

• Exemple :

• Considérons la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par f(x)= 6 – x².
Soit A le point de C_f d'abscisse 1.
Soit T la tangente à C_f en A.
Déterminons graphiquement l'équation réduite de T.
On cherche donc m et p réels tels que :
T : y = mx + p
D'une part :
f(1) = 6 – 1² = 6 – 1 = 5
Donc A(1 ; 5).
D'autre part on lit que B(0 ; 7) appartient à T. C'est le point d'intersection entre T et l'axe des ordonnées donc p = 7.
Enfin on sait que $m\: =\: f{}'\left ( 1 \right )$ .
La droite (AB) est la droite T.
$f{}'\left ( 1 \right )\: =\: \frac{y_{B}\: -\: y_{A}}{x_{B}\: -\: x_{A}}\: =\:\frac{ 7\: -\: 5}{0\: -\: 1}\: =\: \frac{2}{-1}\: =\: -2$
Ainsi :
T : y = 2x + 7
Exercice n°3

V. Comment déterminer algébriquement l'équation réduite d'une tangente à une courbe ?

• Propriété : l'équation réduite d'une tangente T à une courbe C_f au point d'abscisse a (non parallèle à l'axe des ordonnées) est l'égalité $y\: =\: f{}'\left ( a \right )\: \times \: \left ( x\: -\: a \right )\: +\: f\left ( a \right )$ .

• Exemple : Considérons la fonction d définie par d(x) = 4,9x². On a montré précédemment que $d{}'\left ( 2 \right )\: =\: 19,6$ .
Déterminons l'équation réduite de la tangente T à la courbe C_d au point A d'abscisse 2.
$T\: :\: y\: =\: d{}'\left ( 2 \right )\: \times \: \left ( x\: -\: 2 \right )\: +\: d\left ( 2 \right )$
$T : y = 19,6 \times (x - 2) + 4,9 \times 2^{2}$
$T : y = 19,6x - 19,6 \times 2 + 19,6$

Exercice n°4

Exercice n°1

On note f la fonction racine carrée.
On munit le plan d'un repère. On a construit C_f et T la tangente à C_f au point A d'abscisse 1.
Déterminer graphiquement la valeur du nombre dérivé de la fonction racine carrée en 1.

Cochez la bonne réponse.

A. 1

B. 0

C. 0,5

D. –1

On doit trouver le coefficient directeur de T.
A(1 ; f(1)) appartient à T et $f\left ( 1 \right )\: =\: \sqrt{1}\: =\: 1$ .
B(0 ; 0,5) appartient à T.
La droite (AB) est donc la tangente T.
Calculons le coefficient directeur de (AB) :
$\frac{y_{B}\: -\: y_{A}}{x_{B}\: -\: x_{A}}\: =\: \frac{0,5\: -\: 1}{0\: -\: 1}\: =\: \frac{-0,5}{1}\: =\: 0,5$

Exercice n°2

Une voiture arrive bientôt au bout d'une piste qui se termine par un mur ; le conducteur freine. On filme la voiture sur les 100 derniers mètres.
On considère la fonction l qui x secondes après le début de l'enregistrement associe la longueur parcourue en mètres. On note C_l la courbe représentative de l dans un repère orthogonal. On note E le point de C_l d'abscisse 3 et T_E la tangente à C_l en E. Le logiciel affiche le coefficient directeur de T_E. Quelle interprétation peut-on faire de ce nombre ?

Cochez la bonne réponse.

A. La voiture a parcouru 16 mètres après 3 secondes.

ok	B. La voiture a une vitesse instantanée de 16 m/s, 3 secondes après le début de l'enregistrement.

C. En moyenne la vitesse de la voiture était de 16 m/s lors des cinq secondes de l'enregistrement.

D. La voiture a une vitesse instantanée de 3 m/s, 16 secondes après le début de l'enregistrement.

E. La voiture a une vitesse instantanée de 16 m/s, environ 80 secondes après le début de l'enregistrement.

On a $l{}'\left ( 3 \right )\: =\: 16$ . Le nombre dérivé de l en 3 est égal à 16.
Donc la voiture a une vitesse instantanée de 16 m/s, 3 secondes après le début de l'enregistrement.
On observe d'ailleurs que la voiture réduit sa vitesse les cinq dernières secondes jusqu'à l'arrêt complet : vitesse nulle car tangente à C_l au point d'abscisse 5 parallèle à l'axe des abscisses.

Exercice n°3

On note f la fonction racine carrée.
On munit le plan d'un repère. On a construit C_f et T la tangente à C_f au point A d'abscisse 1.
On sait que $f{}'\left ( 1 \right )\: =\: 0,5$ .

Quelle est l'équation réduite de T ?

Cochez la bonne réponse.

ok	A. y = 0,5x + 0,5

B. y = 0,5x – 1

C. y = –x + 0,5

D. y = x + 0,5

On cherche donc m et p réels, tels que : T : y = mx + p
D'une part : f(1) = 6 – 1² = 6 – 1 = 5
Donc A(1 ; 5).
D'autre part, on lit que B(0 ; 0,5) appartient à T. C'est le point d'intersection entre T et l'axe des ordonnées, donc p = 0,5.
Enfin on sait que $m\: =\: f{}'\left ( 1 \right )$ .
La droite (AB) est la droite T.
$f{}'\left ( 1 \right )\: =\: 0,5$
Ainsi :
$T\: :\: y\: =\: f{}'\left ( 1 \right )\: \times \: x\: +\: p$
T : y =

0,5 $\times x +$ 0,5

Exercice n°4

Considérons la fonction carré. On la note g.
On note C_g la courbe représentative de g dans un repère. On note G le point de C_g d'abscisse 4. On note T₄ la tangente à C_g en G. On admet que le coefficient directeur de T₄ est égal à 8.
Quelle est l'équation réduite de T₄ ?

Cochez la bonne réponse.

A. T₄ : y = 16x - 8

B. T₄ : y = 16x + 8

C. T₄ : y = 8x + 16

ok	D. T₄ : y = 8x – 16

$g(4) = 4^{2} = 16$
$g{}'\left ( 4 \right )\: =\: 8$
$T_{4}\: :\: y\: =\: g{}'\left ( 4 \right )\: \: \left ( x\: -\: 4 \right )\: +\: g\left ( 4 \right )$
$T_{4} : y = 8 \times (x - 4) + 16$
$T_{4} : y = 8x - 32 + 16$
$T_{4} : y = 8x - 16$