À la découverte de Saturne, sujet de métropole, mars 2023, exercice 1

Énoncé

Exercice sur 11 points
La planète Saturne a été observée à travers une lunette astronomique pour la première fois par l'astronome Galilée en 1610. Il a pu entrevoir la planète, mais sa lunette ne lui a pas permis de distinguer clairement ce qui l'entourait (figure 1).
Ce n'est qu'en 1655, grâce à une lunette plus perfectionnée, que Christian Huygens comprend que ce qui entoure Saturne sont des anneaux dont l'aspect varie avec l'angle d'observation. La même année, il découvre également Titan, le plus gros satellite de Saturne (figures 2 et 3).


Figure 1. Saturne représentée par Galilée en 1610


Figure 2. Un des premiers dessins de Saturne réalisé par Huygens en 1655


Figure 3. Positions respectives de Saturne et de Titan schématisées par Huygens en 1655

Source : Systema Saturnium de Huygens

Le but de cet exercice est d'étudier la lunette astronomique de Huygens afin de comparer ses observations de Saturne et de ses anneaux à celles de Galilée. La fin de l'exercice est consacrée à l'étude du mouvement du satellite Titan à partir des observations de Huygens.

Données :

• caractéristiques des lunettes astronomiques utilisées par Galilée et Huygens :

	Distance focale ${f}'_{1}$ de l'objectif	Distance focale ${f}'_{2}$ de l'oculaire	Diamètre a de l'objectif	Grossissement
Lunette de Galilée utilisée en 1610			29,0 mm	G_Gal = 14
Lunette de Huygens utilisée en 1655	329 cm	7,0 cm	51,0 mm

• un observateur peut distinguer deux points différents d'un objet si l'angle sous lequel sont vus ces deux points, depuis le point d'observation, est supérieur ou égal à 3,0 × 10⁻⁴ rad ;

• approximation dans le cas de petits angles (θ $\ll$ 1 rad) : tan(θ) = θ ;

• constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² ;

• masse de Saturne : M_s = 5,68 × 10²⁶ kg ;

• masse de Titan : M_T = 1,34 × 10²³ kg ;

• distance moyenne entre la Terre et Saturne : D_T–S = 1,42 × 10⁹ km ;

• rayon de l'orbite de Titan autour de Saturne : R = 1,22 × 10⁶ km.

1. Observation de Saturne par Huygens

La lunette de Huygens, considérée comme afocale, est modélisée par un système de deux lentilles minces convergentes notées L₁ et L₂. La lentille L₁ représente l'objectif et la lentille L₂ l'oculaire. Leurs centres optiques respectifs sont notés O₁ et O₂, et leurs distances focales respectives sont notées ${f}'_{1}$ et ${f}'_{2}$ .
Sur la figure A1 de l'annexe à rendre avec la copie, réalisée sans souci d'échelle, sont représentées les deux lentilles et la position du foyer image ${F}'_{1}$ de la lentille L₁. La lunette est utilisée pour observer un objet AB, supposé « à l'infini », dont l'image par l'objectif sera notée A₁ B₁. Deux rayons lumineux issus de B sont représentés sur le schéma.

Q1. Préciser le sens du terme « afocal ».

Le terme « afocal » désigne une particularité des instruments optiques à deux lentilles. Cela permet à l'œil de l'observateur de ne pas accommoder et ainsi diminuer la fatigue visuelle.

Q2. Placer, sur la figure A1 de l'annexe à rendre avec la copie, les foyers objet F₂ et image ${F}'_{2}$ de la lentille L₂ dans le cas d'une lunette afocale.

Avec le sens du terme donné au-dessus, on positionne les deux foyers.

Q3. Construire, sur la figure A1 de l'annexe à rendre avec la copie, la marche des deux rayons lumineux issus de B qui émergent de la lunette en faisant apparaître l'image intermédiaire A1B1.

Utilisez les rayons particuliers pour faire la construction. On sait que la lunette est afocale, l'image intermédiaire se forme donc sur une position particulière.

La lunette de Huygens est constituée d'un tube long de 372 cm. Comme indiqué sur la figure 4, l'oculaire est placé à une extrémité du tube. L'objectif quant à lui est enfoncé de 36 cm par rapport à l'autre extrémité, afin de le protéger de la buée.


Figure 4. Représentation schématique de la lunette de Huygens (échelle non respectée)

Q4. Vérifier, à partir des données, que la lunette de Huygens peut être considérée comme « afocale ».

Utilisez les différentes mesures données pour les différentes distances focales ainsi que celles données par la figure pour vérifier si le système est « afocal ».

L'angle θ, représenté sur la figure A1 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, désigne l'angle sous lequel l'espace AB entre la surface de Saturne et son premier anneau est vu à l'œil nu depuis la Terre, lorsque les anneaux de Saturne sont vus de face (voir figure 5).


Figure 5. Angle sous lequel Saturne est vue par Huygens sans la lunette (échelle non respectée)

On note θ' l'angle sous lequel un observateur voit l'image $\mathrm {A}'\mathrm {B}'$ de l'espace AB, à travers la lunette astronomique.

Q5. Placer l'angle θ' sur la figure A1 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.

Finissez la construction de l'image $\mathrm {A}'\mathrm {B}'$ afin de pouvoir placer l'angle sous lequel est vue cette image par un observateur.

Q6. Donner l'expression du grossissement G_Huy de la lunette de Huygens en fonction des angles θ et θ'.

Donnez la relation du grossissement du cours.

Q7. Montrer que le grossissement G_Huy de la lunette de Huygens s'exprime en fonction des distances focales des lentilles L₁ et L₂ constituant la lunette :
$G_{Huy}\, =\, \frac{{f}'_{1}}{{f}'_{2}}$

Déterminez les relations donnant les tangentes de chaque angle θ et θ'. Puis la simplification des petits angles permet de remonter à la relation du grossissement.

Q8. Calculer la valeur du grossissement G_Huy de la lunette utilisée par Huygens.

Application numérique de la relation précédente.

Q9. Conclure sur la possibilité pour Huygens de distinguer la surface de Saturne de son premier anneau en utilisant la lunette. La distance entre la surface de Saturne et son premier anneau est égale à D_A-B = 3,17 × 10⁴ km (figure 5).

Déterminez la relation donnant la tangente θ sur la figure, puis simplifiez la relation avec le petit angle. Comparer la valeur trouvée avec l'angle de résolution de l'œil.

2. Prise en compte de la diffraction dans l'observation astronomique

L'observation des détails d'un objet avec une lunette astronomique est principalement limitée par le phénomène de diffraction. En effet, l'image donnée par l'objectif d'une source ponctuelle « à l'infini » n'est pas un point mais une figure de diffraction circulaire, appelée « tache d'Airy », représentée sur la figure 6.


Figure 6. Figure de diffraction obtenue par une ouverture circulaire (échelle non respectée – image en négatif)

Dans le cas de la lunette astronomique, on admet que l'angle caractéristique de diffraction vérifie la relation :
θ_diff = 1,22 x $\frac{\lambda }{a}$
avec λ la longueur d'onde du faisceau incident et a le diamètre de l'objectif.
Une lunette astronomique ne permet de distinguer deux points A et B que si l'écart angulaire θ entre les directions de ces deux points vus depuis la Terre est supérieur ou égal à l'angle caractéristique de diffraction, c'est-à-dire si la condition θ $\geqslant$ θ_diff est vérifiée. Si ce n'est pas le cas, les taches d'Airy associées aux deux points se superposent, et les deux points ne peuvent être séparés visuellement.

Q10. Expliquer pourquoi on peut considérer que le phénomène de diffraction a empêché Galilée d'observer les anneaux de Saturne avec sa lunette astronomique contrairement à Huygens qui a pu les observer. Une approche quantitative est attendue.
On rappelle que la distance entre Saturne et la limite du premier anneau visible à l'époque est égale à D_A-B = 3,17 × 10⁴ km et on effectuera les calculs avec une valeur de la longueur d'onde λ = 550 nm, pour laquelle l'œil humain est le plus sensible.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Calculez le nouvel angle θ_diff, en tenant compte de la diffraction, pour Galilée et comparez à l'angle θ.

3. Découverte de Titan par Huygens

Le 25 mars 1655, à 8 heures du soir, employant sa lunette, Huygens aperçoit près de Saturne un point brillant qu'il soupçonne d'être un satellite de cette planète. Plus tard, ce satellite sera appelé Titan.
« Après le 25 mars 1655, à savoir le 10 avril, le satellite a été vu à la même position qu'il occupait à cette première date. De même, le 3 et le 19 avril de cette même année des positions identiques furent observées ; de même encore le 13 et le 29 de ce mois. Tenant donc compte de ces résultats, j'ai dessiné une circonférence de cercle représentant l'orbite du satellite, avec Saturne au centre, et je l'ai divisée en 16 parties, comme le montre la figure suivante. Dans cette orbite j'ai fait circuler le satellite suivant l'ordre naturel des chiffres. […] Cherchant ensuite sur cette circonférence l'endroit où le satellite s'était trouvé dans notre première observation et corrigeant plusieurs fois cet endroit, […] il m'a semblé enfin que tout le mouvement peut être représenté le plus commodément, si dans le cas de la première observation, celle du 25 mars 1655, le satellite est placé auprès du nombre 12. Par suite le satellite de Saturne était le 26 mars auprès du nombre 13, le 27 mars auprès du nombre 14, le 3 avril auprès du nombre 5 et ainsi de suite aux endroits de l'orbite qui correspondent assez bien avec les situations observées la première année. »


Source : d'après Systema Saturnium de Huygens

Q11. Justifier le choix de Huygens de diviser la trajectoire de Titan en 16 parties.

Le texte explicatif sur les observations de Huygens permet de déterminer la période de révolution de Titan.

Le mouvement de Titan, noté T, est étudié dans le référentiel saturnocentrique, dont l'origine est placée au centre S de Saturne et dont les axes sont dirigés vers des étoiles lointaines. Il est considéré comme galiléen. On travaille dans le repère de Frenet $\left ( T,\: \overrightarrow{u_{t}},\: \overrightarrow{u_{n}} \right )$ .
Dans Systema Saturnium, Huygens précise que la valeur de la période de révolution T_Huy de Titan est de « 15 jours 23 heures 13 minutes ».


Figure 7. Schéma de la trajectoire de Titan dans le référentiel saturnocentrique

Q12. Donner l'expression vectorielle de la force d'interaction gravitationnelle exercée par Saturne sur le satellite Titan en fonction de G, Ms, M_T, R et de l'un des vecteurs unitaires.

La force d'interaction gravitationnelle s'exerce toujours entre deux masses. Elle est toujours attractive.

Q13. Le mouvement de Titan autour de S est supposé circulaire. Montrer qu'il est uniforme puis que l'expression de la vitesse du satellite s'écrit sous la forme :
$v\, =\, \sqrt{\frac{G\, \cdot \, Ms}{R}}$

Utilisez la deuxième loi de Newton sur le système, puis le repère de Frenet donné.

Q14. En déduire l'expression de la période de révolution notée T_Kep de Titan. Calculer sa valeur. Commenter.

La vitesse est constante, donc on peut déterminer une relation pour une révolution. Utilisez ensuite la relation précédente et comparez aux données.

Annexe


Figure A1. Schéma de la lunette de Huygens (échelle non respectée)

Corrigé

1. Observation de Saturne par Huygens

Q1. Un système est dit « afocal » lorsque le faisceau lumineux qu'il reçoit en émerge parallèle : il donne d'un objet observé à l'infini une image également observée à l'infini.

Q2. Voir la feuille annexe : Dans une lunette astronomique dite « afocale », le foyer objet F₂ de la lentille L₂ doit être confondu avec le foyer image ${F}'_{1}$ de la lentille L₁.

Q3. Voir la feuille annexe : L'objet B est à l'infini, l'image intermédiaire B1 se forme dans le plan focal image de la lentille L₁.

Q4. La lunette de Huygens est constituée d'un long tube de 372 cm mais entre les deux lentilles, il y a une distance de L − l = 372 – 36 = 336 cm. Pour que la lunette soit « afocale » il faut que ${F}'_{1}$ soit confondu avec F₂, donc la longueur entre les deux centres O₁ et O₂ doit être ${f}'_{1}$ et ${f}'_{2}$ = 329 + 7,0 = 336 cm. On retrouve bien la même donnée que celle de la figure. La lunette peut être considérée comme afocale.

Q5. Voir la feuille annexe.

Q6. Par définition, le grossissement de Huygens est : $G_{Huy}\, =\, \frac{{\theta }'}{\theta }$ .

Q7. Dans le triangle O1A1B1 : tanθ = $\frac{A_{1}B_{1}}{{f}'_{2}}$ .
Dans le triangle O2A1B1 : tanθ = $\frac{A_{1}B_{1}}{{f}'_{2}}$ .
Comme les angles sont très petits, tan θ ≈ θ, donc $G_{Huy}\, =\, \frac{\frac{A_{1}B_{1}}{{f}'_{2}}}{\frac{A_{1}B_{1}}{{f}'_{1}}}\, =\, \frac{{f}'_{1}}{{f}'_{2}}$ .

Q8. Application numérique : $G_{Huy}\, =\, \frac{329}{7,0}\, =\, 47$

Q9. Un observateur peut distinguer deux points différents d'un objet si l'angle sous lequel sont vus ces deux objets est supérieur ou égal à 3,0 × 10⁻⁴ rad.
L'angle sous lequel est vu l'objet sans lunette est tanθ = $\frac{DAB}{DTS}\, =\, \frac{3,17\, \times \, 10^{4}}{1,42\, \times \, 10^{9}}\, =\, 2,23\, \times \, 10^{-5}\: \mathrm{rad}$ .
Comme l'angle est petit tan θ ≈ θ.
θ' =

x θ = $1,0\, \times \, 1,0^{-3}\: \mathrm{rad}$ .
Cette valeur est supérieure à 3,0 × 10⁻⁴ rad, condition indiquée dans l'énoncé pour distinguer deux points, donc on distinguera bien le premier anneau de Saturne avec cette lunette.

2. Prise en compte de la diffraction dans l'observation astronomique

Q10. Malheureusement à cause de la diffraction, il faut que l'angle θ soit supérieur à θ_diff.
Or θ_diff = 1,22 x $\frac{\lambda }{a}$ .
Pour Galilée : θ_diff = $1,22\, \times \, \frac{550\, \times \, 10^{-9}}{29,0\, \times \, 10^{-3}}\, =\, 2,31\, \times \, 10^{-5}\, \mathrm{rad}$ .
On a bien θ < θ_diff, ce qui a donc empêché Galilée d'observer les anneaux de Saturne avec sa lunette astronomique.

3. Découverte de Titan par Huygens

Q11. Huygens a observé plusieurs fois qu'il fallait 16 jours pour revoir Titan au même point : c'est la période de révolution de Titan autour de Saturne d'où l'idée de diviser sa trajectoire en 16.

Q12. La force d'interaction gravitationnelle :
$\overrightarrow{F}_{grav}\, =\, -G\frac{M_{S}.M_{T}}{R^{2}}\overrightarrow{u}_{n}$

Q13. Système : {Titan} de masse MT.
Référentiel : saturnocentrique considéré galiléen.
Inventaire des forces : uniquement la force d'attraction gravitationnelle exercée par Saturne $\overrightarrow{F}_{grav}$ .
Deuxième loi de Newton appliquée à notre système :
$\overrightarrow{F}_{grav}\, =\, M_{T}.\overrightarrow{a}$
Projetons dans la base de Frenet :

• Sur $\overrightarrow{u_{t}}$ : la force de gravitation étant radiale, elle n'a pas de composante sur cet axe : a_t = 0

• Sur $\overrightarrow{u}_{n}\, :\: \mathrm{G}\frac{M_{S}.M_{T}}{R^{2}}\, =\, M_{T}.a_{n}$ d'où $a_{n}\, =\, \mathrm{G}\frac{M_{S}}{R^{2}}$ .

Dans la base de Frenet $a_{n}\, =\, \frac{v^{2}}{R}\, =\, \mathrm{G}\frac{M}{R^{2}}$ , on peut donc en déduire : $v^{2}\, =\: \mathrm{G}\frac{M_{s}}{r}$ , d'où $v\, =\: \sqrt{G\, \times \, \frac{M_{S}}{R}}$ .

Q14. On sait que $T\, =\, \frac{2.\pi .\mathrm{R}}{v}$
On en déduit $T^{2}\, =\, \frac{4\pi ^{2}R^{2}}{G.M_{S}}\, R\, =\, \frac{4\pi ^{2}R^{2}}{G.M_{S}}$
D'où $T\, =\, 2\pi \, \times \, \sqrt{\frac{R^{3}}{G.M_{S}}}$
Numériquement, $\mathrm{T}\, =\, 2\, \times \, \pi \, \times \, \sqrt{\frac{\left (1,22\, \times \, 10^{6}\, \times 10^{3} \right )^{3}}{6,67\, \times \, 10^{-11}\, \times \, 5,68\, \times \, 10^{26}}}\, =\, 1,38\, \times \, 10^{6}\, s$
Soit environ 382 heures, soit 15 jours 22 heures et 6 minutes environ.
La valeur est en concordance avec celle des données.

ANNEXE

À la découverte de Saturne, sujet de métropole, mars 2023, exercice 1

Énoncé

Données :

1. Observation de Saturne par Huygens

2. Prise en compte de la diffraction dans l'observation astronomique

3. Découverte de Titan par Huygens

Annexes

Corrigé

1. Observation de Saturne par Huygens

2. Prise en compte de la diffraction dans l'observation astronomique

3. Découverte de Titan par Huygens