Observation de la planète Mars, sujet de métropole, mai 2022, exercice 1

Énoncé

Exercice sur 10 points
La planète Mars est une planète du système solaire au cœur de multiples projets scientifiques internationaux destinés à mieux connaître son sol et son histoire.
Les objectifs de l'exercice sont de déterminer quelques caractéristiques de la planète Mars à partir :

de la mesure de l'angle sous lequel elle est vue par un observateur terrestre ;
de l'observation de Phobos, l'un de ses satellites naturels.

Données :

• angle θ, exprimé en radian, sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre :

• on se place dans le cadre de l'approximation des petits angles (θ << 1 rad) :

tan (θ) ≈ θ avec θ en rad,
la distance Terre-Mars, notée D, étant suffisamment grande devant le diamètre de Mars, noté d_M, l'angle θ (en rad) a pour expression :

$\theta \: \approx \: \frac{d_{M}}{D}$

• pouvoir séparateur de l'œil humain : il correspond à l'angle minimal, noté ε, au-dessus duquel l'œil humain peut différencier deux points. Il a pour valeur ε = 2,9 × 10⁻⁴ rad ;

• constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² ;

• diamètre moyen de référence de la planète Mars : d_Ref = 6,78 × 10³ km ;

• rayon de l'orbite, supposée circulaire, de Mars autour du Soleil : r_SM = 2,28 × 10⁸ km ;

• masse de la Terre : M_T = 5,97 × 10²⁴ kg.

Partie 1. Observation de Mars avec une lunette astronomique

On peut observer la planète Mars avec une lunette astronomique afocale composée de deux lentilles minces convergentes L₁ et L₂ de distances focales respectives ${f'_{1}}\: =\: 900\: \mathrm{mm}$ et ${f'_{2}}\: =\: 20\: \mathrm{mm}$ . Le schéma donné en ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE représente des rayons lumineux provenant des deux points de Mars P₁ et P₂.

Ces deux points sont :

situés à la surface de Mars ;
supposés à l'infini ;
diamétralement opposés ;
écartés d'un angle θ correspondant à l'angle sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre ;
observés depuis la surface de la Terre.

1. Indiquer sur le schéma en ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, au-dessus de la lentille correspondante, la lentille qui joue le rôle d'objectif et celle qui joue le rôle d'oculaire.

L'objectif est toujours la lentille tournée vers l'objet alors que l'oculaire est celle tournée vers l'œil.

2. Citer la propriété caractéristique d'une lunette astronomique dite « afocale ». Donner la position du foyer objet F₂ de la lentille L₂ par rapport à celle du foyer image ${\mathrm{F}'_{1}}$ de la lentille L₁ de cette lunette. Placer ces deux points sur le schéma en ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.

Une lunette afocale permet de donner une image finale à l'infini d'un objet situé à l'infini.

3. Tracer sur le schéma en ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE la marche des rayons lumineux issus des points P₁ et P₂ de Mars :

à travers la lentille L₁ en faisant apparaître les images intermédiaires ${\mathrm{P}'_{1}}$ et ${\mathrm{P}'_{2}}$ , des points P₁ et P₂ ;
puis à travers la lentille L₂ en faisant apparaître l'angle $\theta'$ sous lequel la planète Mars est vue en sortie de la lunette.

Tout rayon passant par le centre optique O d'une lentille n'est pas dévié. Et tout rayon émerge d'une lentille parallèlement à celui passant le plan focal objet et le centre optique.

On admet que le grossissement de la lunette astronomique afocale s'exprime par la relation :
$G_{lunette}\: =\: \frac{{f'_{1}}}{{f'_{2}}}$

4. Calculer la valeur du grossissement G_lunette de la lunette utilisée.

C'est une application numérique.

En janvier 2021, l'angle sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre à l'œil nu était de θ = 4,9 × 10⁻⁵ rad. Cet observateur voit alors un point lumineux.

5. Justifier cette observation.

Comparez l'angle sous lequel la planète Mars est vue avec le pouvoir séparateur de l'œil.

6. Indiquer ce qu'il observe en utilisant la lunette astronomique précédente. Justifier par un calcul.

Calculez l'angle sous lequel est vu Mars avec la lunette astronomique et comparez-le avec le pouvoir séparateur de l'œil.

Partie 2. Détermination du diamètre de Mars

À l'aide des mesures effectuées en début de chaque mois avec la lunette astronomique, on détermine l'angle θ sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre à partir de janvier 2018.
Lorsque Mars n'est pas visible, on utilise des données simulées.
Les valeurs de l'angle θ sont représentées en fonction du temps t sur la figure 1. La date t = 0 correspond au 1^er janvier 2018.

Le schéma présenté en figure 2 montre les deux positions extrêmes de Mars par rapport à la Terre ainsi que les angles θ₁ et θ₂ sous lesquels la planète Mars est vue par un observateur terrestre pour ces deux positions.


Figure 2. Schéma des positions relatives de Mars par rapport à la Terre (échelle non respectée)

7. Associer, en expliquant votre démarche, les angles θ₁ et θ₂ sous lesquels la planète Mars est vue par un observateur terrestre aux points A et B de la figure 1. En déduire les valeurs de θ₁ et θ₂.

Les deux angles $\vartheta _{1}$ et $\vartheta _{2}$ correspondent à l'angle le plus grand et le plus petit d'après la figure 2.

8. En utilisant la figure 2, montrer que l'expression du diamètre d_M de la planète Mars s'exprime de la façon suivante :
$d_{M}\: =\: \frac{2r_{SM}}{\left ( \frac{1}{\theta _{1}}\: +\: \frac{1}{\theta _{2}} \right )}$

Déterminez la relation donnant l'angle θ en fonction de d_M et D. La figure 2 permettra de relier les distances à r_SM.

9. Calculer la valeur du diamètre d_M de la planète Mars. Commenter.

Utilisez la relation précédente pour l'application numérique.

Partie 3. Détermination de la masse de Mars

La planète Mars, que l'on peut assimiler à une sphère de diamètre d_M, possède une masse M_M environ dix fois moins grande que celle de la Terre.
La masse M_M de Mars peut être déterminée par l'observation de Phobos, l'un des satellites naturels de la planète et par l'utilisation des lois de Newton.
Ce satellite :

a une période de révolution T de 7 h 39 min autour de Mars ;
possède une trajectoire quasi circulaire autour de Mars de rayon r_MP = 9,38 × 10³ km ;
n'est soumis qu'à la seule force de gravitation de Mars.

10. En utilisant une loi de Newton, établir que l'expression de la vitesse de Phobos sur son orbite circulaire autour de Mars est :
$v\: =\: \sqrt{G\frac{M_{M}}{r_{MP}}}$

L'application de la deuxième loi de Newton permet de déterminer l'accélération de Phobos. Utiliser le repère de Frenet permet de trouver la vitesse de Phobos.

11. Déterminer la valeur de la masse M_M de Mars. Commenter.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Déterminez la période T de révolution de Phobos en fonction de sa vitesse v. La relation précédente permet d'éliminer la vitesse de la relation donnant la période. Puis concluez en rapprochant la valeur trouvée avec celle donnée dans l'énoncé.

ANNEXE

Corrigé

Partie 1. Observation de Mars avec une lunette astronomique

1. La lentille L₁ est la lentille tournée vers l'objet : c'est donc l'objectif.
La lentille L₂ est du côté de l'œil de l'observateur : c'est donc l'oculaire.

2. Une lunette afocale est une lunette qui donne une image finale à l'infinie lorsque l'objet à observer est à l'infini. Pour créer une lunette afocale, il faut que le foyer image ${\mathrm{F}'_{1}}$ de l'objectif et le foyer objet F₂ de l'oculaire soient confondus. Le foyer image ${\mathrm{F}'_{2}}$ de l'oculaire est le symétrique du foyer objet F₂ par rapport au centre de la lentille L₂.

3. Les rayons passant par le centre optique O ne sont pas déviés. Le point image ${\mathrm{P}'_{1}}$ (ou ${\mathrm{P}'_{2}}$ ) est situé à l'intersection de ce rayon incident et du plan focal image de l'objectif.
Puis, il faut tracer le rayon issu de ${\mathrm{P}'_{1}}$ passant par le centre optique O₂ : celui-ci n'est pas dévié. Les rayons issus de ${\mathrm{P}'_{1}}$ émergent parallèlement entre eux, donc parallèlement au rayon créé.

4. On a $\mathrm{G}\: =\: \frac{{f'_{1}}}{f_{2}}\: =\: \frac{900}{20}\: =\: 45$

5. Le pouvoir séparateur de l'œil humain qui correspond à l'angle minimal, au-dessus duquel l'œil humain peut différencier deux points, est ε = 2,9 × 10⁻⁴ rad. Or, l'angle sous lequel la planète Mars est vue par l'observateur terrestre est plus petit que ε. Cet observateur voit alors Mars comme un point lumineux unique.

6. Le grossissement de la lunette astronomique obtenu vaut 45. Donc l'angle sous lequel est vue la planète Mars sera $\theta'\: =\: G\: \times \: \theta \: =\: 45\: \times \: 4,9\: \times \: 10^{-5}\: =\: 2,2\: \times \: 10^{-3}\mathrm{rad}$ .
$\theta'\: >\: \varepsilon$ . Donc l'observateur verra, avec la lunette, la planète Mars comme un disque.

Partie 2. Détermination du diamètre de Mars

7. Le point A correspond à l'angle le plus grand et le point B à l'angle le plus petit d'après la figure 2.
Donc θ₁ correspond au point A, θ₁ = 1,18 × 10⁻⁴rad
Et θ₂ correspond au point B, θ₂ = 1,7 × 10⁻⁵rad

8. Donc en supposant que les angles θ₁ et θ₂ sont petits : tan θ ≈ θ
$\theta_{1}\: \approx \: \frac{d_{M}}{D_{1}}$ soit $D_{1}\: \approx \frac{d_{M}}{\theta _{1}}$
Et $\theta _{2}\: \approx \frac{d_{M}}{D_{2}}$ soit $D_{2}\: \approx \frac{d_{M}}{\theta _{2}}$
Or D₁ + D₂ = 2 × r_SM
C'est-à-dire $\frac{d_{M}}{\theta _{1}}\: +\: \frac{d_{M}}{\theta _{2}}\: =\: 2\: \times \: r_{SM}$
$d_{M}\left ( \frac{1}{\theta _{1}}\: +\: \frac{1}{\theta _{2}} \right )\: =\: 2\: \times \: r_{SM}.$
D'où $d_{M}\: =\: \frac{2\: \times \: r_{SM}}{\left ( \frac{1}{\theta _{1}}\: +\: \frac{1}{\theta _{2}} \right )}$

9. Application numérique : $d_{M}\: =\: \frac{2\: \times \: 2,28\: \times \: 10^{8}\: \times \: 10^{3}}{\left ( \frac{1}{1,60\: \times \: 10^{-5}}\: +\: \frac{1}{1,18\: \times \: 10^{-4}} \right )}\: =\: 6,42\: \times \: 10^{6}\, \mathrm{m}\: =\: 6,42\: \times \: 10^{3}\, \mathrm{km}$ .
On note que cela est en accord avec le diamètre moyen de référence de la planète Mars d_Ref = 6,78 × 10³ km fourni dans les données.

Partie 3. Détermination de la masse de Mars

10.

Phobos ne subit que la force d'attraction gravitationnelle de Mars : $\overrightarrow{F_{M/P}}$
Dans le repère de Frenet on a :
La deuxième loi de Newton donne : $\overrightarrow{F_{M/P}}\: =\: m_{P}\cdot \vec{a}$ où m_P est la masse de Phobos.
d'où $\vec{a}\: =\: \frac{\overrightarrow{F_{M/P}}}{m_{p}}.$
Comme $\overrightarrow{F_{\mathrm{M}/P}}\: =\: G\frac{M_{M}\cdot m_{p}}{r_{MP^{2}}}\vec{n}$ , projetons dans la base de Frenet $\left ( \vec{t},\: \vec{n} \right )$ :

• Sur $\vec{t}$ : la force de gravitation étant radiale, elle n'a pas de composante sur cet axe : a_t = 0

• Sur $\vec{n}$ : $G\frac{M_{M}\cdot m_{p}}{r_{MP^{2}}}\: =\: m_{p}\cdot a_{n}$ d'où $a_{n}\: =\: G\frac{M_{M}}{r_{MP^{2}}}$

Or, dans la base de Frenet, $a_{t}\: =\: \frac{dv}{dt}\: =\: 0$ . Cela implique que la vitesse de la planète est constante. Le mouvement est donc circulaire et uniforme.
De plus, dans la base de Frenet, $a_{n}\: =\: \frac{v^{2}}{r_{MP}}\: =\: \mathrm{G}\frac{M_{M}}{r_{MP^{2}}}$ , on peut en déduire que $v^{2}\: =\: G\frac{M_{M}}{r_{MP}}$
soit $v\: =\: \sqrt{G\frac{M_{M}}{r_{MP}}}.$

11. Le périmètre d'une révolution est 2πr_MP. Phobos accomplit cette distance en une période T.
D'où $v \: =\: \frac{2\pi r_{MP}}{T}$ . Soit $T^{2} \: =\: \frac{4\pi ^{2}r_{MP^{2}}}{v^{2}}$
Comme $v^{2} \: =\: G\frac{M_{M}}{r_{MP}}$ alors $T^{2}\: =\: \frac{4\pi ^{2}r_{MP^{3}}}{\mathrm{G}\cdot M_{M}}$
D'où $M_{M}\: =\: \frac{4\pi ^{2}r_{MP^{3}}}{\mathrm{G}\cdot T^{2}}\: =\: \frac{4\pi ^{2}\: \times \: \left ( 9,39\: \times \: 10^{6} \right )^{3}}{6,67\: \times \: 10^{-11}\: \times \: 27\: 540^{2}}\: =\: 6,44\: \times \: 10^{23}\, \mathrm{kg}$
Avec T = 7 h 39 min = 7 × 3 600 + 39 × 60 = 27 540 s
On peut constater que $M_{T}/M_{M}\: =\: \frac{5,97\: \times \: 10^{24}}{6,44\: \times \: 10^{23}}\: \approx \: 9,27$ . La masse de Mars est bien environ 10 fois moins grande que celle de la Terre ce qui est en accord avec l'énoncé.

Voir le corrigé

Corrigé

Partie 1. Observation de Mars avec une lunette astronomique

1. La lentille L₁ est la lentille tournée vers l'objet : c'est donc l'objectif.
La lentille L₂ est du côté de l'œil de l'observateur : c'est donc l'oculaire.

4. On a $\mathrm{G}\: =\: \frac{{f'_{1}}}{f_{2}}\: =\: \frac{900}{20}\: =\: 45$

Partie 2. Détermination du diamètre de Mars

Partie 3. Détermination de la masse de Mars

10.

• Sur $\vec{t}$ : la force de gravitation étant radiale, elle n'a pas de composante sur cet axe : a_t = 0

• Sur $\vec{n}$ : $G\frac{M_{M}\cdot m_{p}}{r_{MP^{2}}}\: =\: m_{p}\cdot a_{n}$ d'où $a_{n}\: =\: G\frac{M_{M}}{r_{MP^{2}}}$