Étudier la dynamique d'un système électrique : le modèle du circuit Résistance-Condensateur (RC)

Énoncé

Exercice 1 (Nouvelle-Calédonie, 2008)

On étudie la décharge du condensateur de capacité C = 1,0 F à travers un conducteur ohmique de résistance R.

**Schéma du montage**

À t₀ = 0 s, on ferme l'interrupteur K et la décharge débute. Initialement, la tension aux bornes du condensateur vaut U₀ = 3,6 V.
1. Établir l'équation différentielle vérifiée par u_c(t) pendant la décharge, et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme $\frac{\textrm{d}u_{c}}{\textrm{d}t} + \frac{1}{\tau }u_{c} = 0$ , où $\tau = RC$ est la constante de temps du circuit.
2. Montrer que $u_{c}\textrm{(}t\textrm{)} = U_{0}\textrm{e}^{\frac{-t}{t}}$ est solution de l'équation différentielle précédente.
3. En déduire qu'une durée environ égale 5τ à permet une décharge quasi-complète du condensateur.
4. Si l'on considère que cette durée est égale à 20 min, déterminer la valeur de la résistance R du conducteur ohmique qu'il faut alors associer au condensateur de capacité C = 1,0 F.

La bonne méthode

1. Appliquer la loi d'additivité des tensions (loi des mailles) sur le circuit et la loi d'Ohm, pour relier la tension aux bornes de la résistance au courant qui la traverse. Enfin, utiliser la relation entre le courant traversant un condensateur et sa tension.
2. Injecter l'expression de u_c dans l'équation différentielle établie précédemment.
3. Regarder combien vaut la tension à t = 5τ. Si elle est très petite par rapport à sa valeur initiale, on peut considérer la décharge du condensateur comme quasi-complète.

Exercice 2

Une partie de l'énergie solaire, abondante sur Terre, peut être transformée en énergie électrique par une cellule photovoltaïque (capteur solaire). Cette énergie électrique doit être stockée, car la demande énergétique peut être décalée dans le temps vis-à-vis de l'apport en énergie solaire (utilisation par exemple, d'un éclairage la nuit).
Dans cet exercice, on s'intéresse au stockage de l'énergie électrique dans un condensateur de grande capacité.
Le fabriquant du condensateur utilisé indique une valeur de capacité $C = 100 000 \mu\textrm{F}\pm 10\,\%$ .
Les caractéristiques de la cellule photovoltaïque en régime normal de fonctionnement sont indiquées ci-dessous (toutes les données ne sont pas utiles) :
Puissance : 0,6 W
Intensité : 270 mA
Tension maximale : 2,25 V
Dimensions : 394 × 127 × 20 mm
Masse : 0,41 kg
Plage de température : −40 °C à +60 °C
La cellule photovoltaïque se comporte comme un générateur G débitant un courant d'intensité constante I = 0,27 A, tant que la tension à ses bornes reste inférieure à la tension maximaleU_max = 2,25 V.
La cellule photovoltaïque est branchée aux bornes du condensateur (figure 1).

**Figure 1. Schéma du circuit étudié.**

À la date t₀ = 0 s, on ferme l'interrupteur K et on débute l'enregistrement informatisé des variations de la tension u_c aux bornes du condensateur en fonction du temps. On obtient le graphe de la figure 2.

**Figure 2. Charge du condensateur.**

1. Nommer les deux régimes observables sur le graphe u_c(t) = f(t) représenté en figure 2.
2. Donner l'expression de u_c en fonction de C et de la charge q du condensateur.
3. Le condensateur est initialement déchargé. Donner l'expression de la charge q du condensateur en fonction de l'intensité I et du temps t lorsque $u_{c}\leq U_{\textrm{max}}$ (charge à courant constant).
En déduire que $u_{c} = \frac{I\times t}{C}$ tant que $u_{c}\leq U_{\textrm{max}}$ .
4. L'énergie électrique stockée dans le condensateur s'écrit $E = \frac{1}{2}C \times U^{2}$ , avec U la tension à ses bornes. Calculer la quantité d'énergie électrique stockée dans le condensateur lorsque la charge est terminée.

La bonne méthode

1. Se souvenir des deux régimes régissant la charge (et la décharge) d'un condensateur, et faire le lien avec la figure.
2. C'est une formule du cours.
3. Utiliser la relation entre I et le débit de charge $\frac{\textrm{d}q}{\textrm{d}t}$ sachant que le courant est d'intensité constante à ce moment-là.
4. Remarquer, sur la figure 2, que la tension aux bornes du condensateur atteint U_max lorsqu'il est chargé, puis appliquer la formule énoncée.

Corrigé

Exercice 1

1. On applique la loi d'additivité des tensions sur le circuit, soit u_R + u_c = 0. La loi d'Ohm nous donne u_R = R × i. On a donc R×i + u_c = 0.
Le courant i traversant le condensateur est relié à la tension à ses bornes par la relation : $i(t)= \frac{\textrm{d}q(t)}{\textrm{d}t} = C\frac{\textrm{d}u_{c}(t)}{\textrm{d}t}$ car $q(t) = C\times u_{c}(t)$ .
On a donc : $RC = \frac{\textrm{d}u_{c}}{\textrm{d}t} + u_{c} = 0 \Leftrightarrow \frac{\textrm{d}u_{c}}{\textrm{d}t} + \frac{1}{RC}u_{c} = 0$ .
En posant τ = RC, on obtient $\frac{\textrm{d}u_{c}}{\textrm{d}t} + \frac{1}{\tau}u_{c} = 0$ .
2. Soit $u_{c}(t) = U_{0}\textrm{e}^{\frac{-t}{t}}$ . Par dérivation, on a : $\frac{\textrm{d}u_{c}(t)}{\textrm{d}t} = -\frac{U_{0}}{\tau}\textrm{e}^{\frac{-t}{t}}$ .
En remplaçant dans l'équation du 1., on obtient :
$\frac{\textrm{d}u_{c}(t)}{\textrm{d}t}+\frac{1}{\tau}u_{c} = -\frac{U_{0}}{\tau}\textrm{e}^{\frac{-t}{t}} + \frac{1}{\tau} \times U_{0}\textrm{e}^{\frac{-t}{t}} = 0$ .
Donc $u_{c}(t) = U_{0}\textrm{e}^{\frac{-t}{t}}$ est bien solution de l'équation différentielle obtenue à la question 1.
3. On calcule u_c pour $t = 5\tau :u_{c}(5\tau) = U_{0}\textrm{e}^{\frac{-5t}{t}} = U_{0}\textrm{e}^{-5} \approx 0,00674U_{0}$ .
Au bout de t = 5τ, la tension u_c aux bornes du condensateur vaut seulement 0,674 % de sa valeur initiale U₀. On peut donc considérer sa décharge comme quasi-complète à ce moment-là.
4. On sait maintenant que 5τ = 20 × 60 = 1 200 s. Donc $\tau = \frac{1 200}{5} = 240\textrm{s}$ .
De plus, on a τ = RC, soit $R = \frac{\tau }{C}$ avec C = 1,0 F.
On en déduit donc que $R = \frac{240}{1,0} = 240\Omega$ .

Exercice 2

1. Jusqu'à $t \approx 0,82 \textrm{s}$ , la tension u_c aux bornes du condensateur varie (proportionnellement) au temps : cela correspond au régime transitoire. Pour t > 0,82 s, la tension u_c est constante : cela correspond au régime permanent.

2. Dans un condensateur, la formule qui lie la charge q et la tension à ses bornes est $u_{c}(t) = \frac{q(t)}{C}$ .

3. La relation entre la charge d'un condensateur et le courant qui le traverse est : $\frac{\textrm{d}q(t)}{\textrm{d}(t)} = i(t)$ . Or d'après l'énoncé, le courant est constant, égal à I, tant que $u_{c}\leq U_{\textrm{max}}$ . On a donc $\frac{\textrm{d}q(t)}{\textrm{d}t} = I$ .
En effectuant un calcul de primitives, on obtient que q(t) = I × t + q(0).
Or le condensateur est déchargé initialement, on a donc q(0) = 0. D'où q(t) = I × t.
En remplaçant dans l'expression donnée à la question 2., on obtient :
$u_{c} = \frac{q}{C} = \frac{I\times t}{C}$ .

4. On remarque, sur la figure 2, que la tension aux bornes du condensateur atteint U_max lorsqu'il est complètement chargé. De plus, d'après l'énoncé, on a C = 100 000 μF = 0,1 F.
En effectuant l'application numérique avec U = U_max = 2,25 V, on trouve l'énergie stockée par le condensateur lorsque celui-ci est chargé :
$E = \frac{1}{2}C\times U_{\textrm{max}}^{2} = \frac{1}{2}\times 0,1\times 2,25^{2} \approx 0,25\textrm{J}$ .

Voir le corrigé

Corrigé

Exercice 1

Exercice 2

2. Dans un condensateur, la formule qui lie la charge q et la tension à ses bornes est $u_{c}(t) = \frac{q(t)}{C}$ .