Effectuer des bilans d'énergie sur un système

Énoncé

Exercice 1

Après remplissage d'une piscine de volume V = 560 m³ avec une eau initialement prise à la température extérieure T_extérieur = 17 °C on souhaite augmenter la température de l'eau jusqu'à 28 °C. On considérera que le transfert thermique depuis la pompe à chaleur (PAC) sert intégralement à chauffer l'eau de la piscine sans déperdition.
Données :

• capacité thermique massique de l'eau liquide : $c_{\mathrm{eau}} = 4,18\: \mathrm{kJ}\, \cdot \, \mathrm{kg}^{-1}\, \cdot \, \mathrm{K}^{-1}$ ;

• masse volumique de l'eau liquide : $\rho_{\mathrm{eau}} = 1\, 000\: \mathrm{kg}\, \cdot \, \mathrm{m}^{-3}$ dans les conditions de l'étude.

1. Calculer la variation d'énergie interne de l'eau du bassin ΔU_eau quand la température de l'eau a atteint 28 °C. En déduire la valeur de Q_c énergie transférée par le fluide de la PAC à l'eau du bassin de la piscine.

2. On arrête la pompe à chaleur dans la piscine une fois la température de 28 °C atteinte. Au bout d'une nuit (12 heures), on observe que la température de l'eau dans la piscine a baissé de ΔT = 4 K. En utilisant la phénoménologique de Newton, exprimer l'évolution de la température de l'eau de la piscine en fonction du temps.
Rappel : La loi phénoménologique de Newton s'écrit sous la forme de l'équation différentielle à coefficients constants suivante : $\frac{dT(t)}{dt} = -r(T - T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}})$ avec r une constante positive. Montrer que T est donnée par l'expression : $T = T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}} + (T(0) - T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}})e^{-rt}$ avec T(0) la température initiale de la piscine. Toute réflexion sera prise en compte.

3. Combien vaut la constante caractéristique de la piscine r (en s⁻¹) ?

La bonne méthode

1. Appliquer la relation du cours reliant variation de température et variation d'énergie interne.
2. Résoudre l'équation différentielle donnée par la loi phénoménologique de Newton.
3. Écrire l'expression de la température T à t_nuit = 14 h = 12 × 60 × 60 = 43 200 s, puis isoler r.
4. Dans cet exercice, on peut faire les calculs en Kelvin ou en degré Celsius, car on considère toujours des différences de températures. Il faut cependant conserver la même unité dans tout le calcul.

Voir le corrigé

Corrigé

Exercice 1

1. La variation de l'énergie interne de l'eau dans la piscine en fonction de la température s'écrit :
ΔU_eau = m_eau × c_eau × ΔT. Or m_eau = ρ_eau × V. On en déduit donc que ΔU_eau = ρ_eau × V × c_eau × ΔT.
Application numérique : $\Delta U_{\mathrm{eau}} = 1\, 000\, \times \, 560\, \times \, 4,18\, \times \, 10^{3}\, \times \, (28-17)\, \approx \, 2,6\, \times \, 10^{10}\: \mathrm{J}$ .
On considère ici que le transfert thermique Q_c sert uniquement à chauffer l'eau et qu'il est le seul apport énergétique de l'extérieur à l'eau. Le premier principe de la thermodynamique nous permet alors d'écrire :
Q_c = ΔU_eau = 2,6 × 10¹⁰ J.

2. Appliquons la loi phénoménologique de Newton à la piscine. On a : $\frac{dT(t)}{dt} = -r(T - T_{\mathrm{exteri\acute{e}ur}})$ soit $\frac{dT(t)}{dt} + rT = rT_{\mathrm{exteri\acute{e}ur}}$ avec rT_extérieur une constante. On applique ensuite la méthode de résolution des équations différentielles à coefficients constants :
Solution homogène : $\frac{dT_{H}(t)}{dt}\: +\: rT_{H} = 0$ , soit $\frac{dT(t)}{dt} = -rT$ , ce qui donne T_H(t) = A × e^−rt, avec A constante.
Solution particulière : le second membre étant constant, on suppose que la solution particulière l'est aussi. On a donc $\frac{dT_{p}(t)}{dt} + rT_{p} = rT_{\mathrm{exteri\acute{e}ur}}$ qui devient rT_p = rT_extérieur, soit T_P = T_extérieur.
On a donc T(t) = T_H(t) + T_p(t) = A × e^−rt + T_extérieur.
De plus, on sait qu'à t = 0, T(0) = A + T_extérieur, soit A = T(0) – T_extérieur, $T(0) = 28\, +\, 273,15\, \approx \, 301\, \mathrm{K}$
On obtient finalement T = T_extérieur + (T(0) − T_extérieur)e^−rt.

3. On sait qu'à t_nuit = 12 h = 12 × 60 × 60 = 43 200 s, T(t_nuit) = T(0) −ΔT soit $T(0) - \Delta T = T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}} + (T(0) - T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}})e^{-rt_{\mathrm{nuit}}}$ .
On a donc $\frac{T(0) - \Delta T - T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}}}{T(0) - T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}}} = e^{-rt_{\mathrm{nuit}}}$ , d'où $\mathrm{ln}\left (\frac{T(0) - \Delta T - T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}}}{T(0) - T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}}} \right ) = -rt_{\mathrm{nuit}}$ Ce qui donne $r = -\frac{\mathrm{l}}{t_{\mathrm{nuit}}}\mathrm{ln}\left (\frac{T(0) - \Delta T - T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}}}{T(0) - T_{\mathrm{ext\acute{e}rieur}}} \right )$ .
Application numérique : $r = -\frac{1}{43\, 200}\mathrm{ln}\left ( \frac{28-4-17}{28-17} \right )=-\frac{1}{43\, 200}\mathrm{ln}\frac{7}{11}\approx 1\times 10^{-5}\, \mathrm{s}^{-1}$ .