Affirmation 1 : VRAIE
Soit P le plan dont une équation cartésienne est : 8x − 5y + 4z − 16 = 0.
Vérifions si les points A, C et D appartiennent à P. Pour cela, on vérifie si les coordonnées des points vérifient l'équation cartésienne de P.
8x_A − 5y_A + 4z_A − 16 = 8 × 2 − 5 × 0 + 4 × 0 − 16  = 16 − 16 = 0. Donc .
8x_C − 5y_C + 4z_C − 16 = 8 × 4 − 5 × 4 + 4 × 1 − 16 = 0. Donc .
8x_D − 5y_D + 4z_D − 16 = 8 × 0 − 5 × 0 + 4 × 4 − 16 = 16 − 16 = 0. Donc .
Ainsi, les trois points appartiennent au plan P.
Il faut ensuite vérifier que A, C et D ne sont pas alignés.


.
De la même manière, .
On constate que mais . Donc et ne sont pas colinéaires.
Ainsi, A, C et D ne sont pas alignés donc A, C et D définissent bien un plan de l'espace.
Affirmation 2 : FAUSSE
Comme on connaît une équation cartésienne de (ACD), alors il suffit de vérifier si le point B appartient au plan (ACD).
Pour cela, on vérifie si les coordonnées de B vérifient l'équation cartésienne de (ACD).
8x_B − 5y_B + 4z_B − 16 = 8 × 0 − 5 × 4  + 4 × 3 − 16 = −24. Or, . Donc .
Donc les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
Affirmation 3 : VRAIE
On va chercher une représentation paramétrique pour les deux droites.
(AC) est dirigée par et , donc une représentation paramétrique de (AC) est :
 ;
 ;

(BH) est dirigée par .



Et , donc une représentation paramétrique de (BH) est :
 ;
 ;

Pour déterminer si (AC) et (BH) sont sécantes, on résout le système :


Ainsi, (AC) et (BH) sont sécantes en I(−8 ; 4 − 3 × 8 ; 3 − 8) soit en I(−8 ; − 20 ; −5).
On peut également vérifier que I(2 + 2 × (−5) ; 4 × (−5) ; (−5)) soit I(−8 ; −20 ; −5).
Affirmation 4 : VRAIE
On admet que (ABC) : x − y + 2z − 2 = 0. On a montré que D n'appartient pas à (ABC).
H est le projeté orthogonal de D sur (ABC) si et seulement si le vecteur  est normal au plan (ABC) et H appartient au plan (ABC).
D'une part : x_H − y_H + 2z_H − 2 = (−1) − 1 + 2 × 2 − 2 = 0. Donc .
D'autre part, un vecteur normal à (ABC) est car (ABC) : 1 × x + (−1) × y + 2 × z + (−2) = 0.
Et :



On a est donc colinéaire (et même égal ici) à un vecteur normal du plan (ABC), donc est également un vecteur normal au plan (ABC).
Donc la droite (BH) est perpendiculaire à (ABC).
Ainsi H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).