Sujet de métropole, juin 2024, exercice 2


Énoncé

Exercice sur 5 points
Les parties A et B sont indépendantes.
Alain possède une piscine qui contient 50 m3 d'eau. On rappelle que 1 m3 = 1 000 L.
Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore.
Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en mg.L-1, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 1 et 3 mg.L−1.
Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.
Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à 0,01 mg.L−1. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de 0,70 mg.L−1.
Partie A : étude d'un modèle discret.
Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d'ajouter chaque jour une quantité de 15 g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l'eau de la piscine.
1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de 0,3 mg.L-1.
2. Pour tout entier naturel n, on note vn le taux de chlore en mg.L-1, obtenu avec ce nouveau protocole n jours après le mercredi 19 juin. Ainsi v0 = 0,7.
On admet que pour tout entier naturel n, vn+1 = 0,92vn + 0,3.
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, vn inférieur ou égal vn+1 inférieur ou égal 4.
b. Montrer que la suite (vn) est convergente et calculer sa limite.
3.  À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
4. Reproduire et compléter l'algorithme ci-dessous écrit en langage Python pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier n tel que vns.
 - illustration 1
5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie B : étude d'un modèle continu.
Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.
Dans ce modèle, pour une durée x (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), f(x) représente le taux de chlore en mg.L-1, dans la piscine.
On admet que la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) : {\mathit{y}}' \, =\, -\, 0,08\, y\, +\, \frac{\mathit{q}}{20}q est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.
1. Justifier que la fonction f est de la forme \mathit{f}(\mathit{x})\, =\, \mathit{C}\mathit{e}^{-0,08\mathit{x}}\, +\, \, \frac{\mathit{q}}{4}C est une constante réelle.
2.  a. Exprimer en fonction de q la limite de f en +\, \infty.
b. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à 0,7 mg.L−1. On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de 2 mg.L−1. Déterminer les valeurs de C et q afin que ces deux conditions soient respectées.

Annexes

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