En suivant l'indication de l'énoncé, on écrit que $X\: = \: \sum_{i=1}^{n}X_{i}$. Par ailleurs, pour tout entier naturel i compris entre 1 et n, X_i = 1 si et seulement si $Y_{i}\: = \: \frac{X_{i}\: +\: 1}{2}\: = 1$, et X_i = −1 si et seulement si $Y_{i}\: = \: \frac{X_{i}\: +\: 1}{2}\: = 0$. On en déduit que $P(X_{i}\: = 1)\: = P(Y_{i}\: = 1)\: = \: p$ et $P(X_{i}\: = -1)\: = P(Y_{i}\: = 0)\: = 1\: -\: p$. La variable Y_i est donc la variable de Bernoulli de paramètre p. Les variables Y_i sont mutuellement indépendantes puisque les X_i le sont.
Soit la variable Y définie par $Y\: = \sum_{i=1}^{n}Y_{i}$. La variable Y est la somme de n variables indépendantes de Bernoulli de même paramètre p. Ainsi, Y suit la loi binominale de paramètres n et p. On en déduit que $Y(\Omega)= \left [ 0\: ;\: n \right ]$.
On a $Y\: = \sum_{i=1}^{n}Y_{i}\: = \sum_{i=1}^{n}\frac{X_{i}\: +\: 1}{2}\: = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\: +\: \frac{n}{2}\: = \frac{X}{2}\: +\: \frac{n}{2}$, soit X = 2Y − n. L'ensemble des valeurs prises par X est donc l'ensemble $\left \{ 2k\: -\: n,\: k\: \in \left [ 0\: ;\: n \right ] \right \}\: = \left \{ -n\: ;\: 2\: -\: n\: ;\: 4\: -\: n\: ;\cdots \: ;\: n\: -\: 4\: ;\: n\: -\: 2\: ;\: n \right \}$.
Quel que soit $x\: \in \: X(\Omega)$, il existe $k\: \in \: [1\: ;\: n]$ tel que x = 2k − n, et :
.
Ainsi, on obtient la loi de X :
Quel que soit $x\: \in \: X(\Omega)$, .
S'agissant de l'espérance de X, il serait extrêmement maladroit d'utiliser la loi de X pour l'obtenir, on peut contourner la difficulté de deux manières :

• E(X) = E(2Y − n) = 2E(Y) − n, par linéarité de l'espérance, et comme E(Y) = np, on trouve E(X) = 2(np) − n = n (2p − 1).

• Une autre façon de procéder est de calculer E(X₁) = −1 × (1 − p) + 1 × p = 2p − 1, et d'utiliser que $E\left ( \sum_{i=1}^{n}X_{i} \right )\: = \sum_{i=1}^{n}E(X_{i})\: = n(2p\: -\: 1)$.

1. On a :
$\sum_{i=1}^{n}\left ( p_{i}\: -\frac{\alpha }{n} \right )^{2} = \sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}\: -\: 2\frac{\alpha}{n}\sum_{i=1}^{n}p_{i}\: +\: n\frac{\alpha ^{2}}{n^{2}}\: =\: \sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}\: -\: 2\frac{\alpha ^{2}}{n}\: +\: \frac{\alpha ^{2}}{n}\: =\: \sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}\: -\: \frac{\alpha ^{2}}{n}$.

2. Comme chaque variable X_i suit la loi de Bernoulli de paramètre p_i, on a E(X_i) = p_i et $V\left ( X_{i} \right )\: = \left ( 0\: -\: p_{i} \right )^{2}\: \times \: \left ( 1\: -\: p_{i} \right )\: +\: \left ( 1\: -\: p_{i} \right )^{2}\: \times \: p_{i}\: = p_{i}\left ( 1\: -\: p_{i} \right )$.
Par ailleurs, les variables sont indépendantes, donc :
$V\left ( \sum_{i=1}^{n}X_{i} \right )\: = \sum_{i=1}^{n}V\left ( X_{i} \right )\: = \sum_{i=1}^{n}p_{i}\left ( 1\: -\: p_{i} \right )\: = \sum_{i=1}^{n}p_{i}\: -\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}\: = \alpha \: -\: \sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}$

3. La formule précédente montre que la variance est maximale lorsque $\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}$ est minimale. Or, $\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}\: = \sum_{i=1}^{n}\left (p_{i}\: -\frac{\alpha}{n} \right )^{2}\: +\: \frac{\alpha ^{2}}{n}$, donc $\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{2}$ est minimale pour $p_{i}\: = \frac{\mathrm{\alpha} }{n}$.
La variance de X est maximale pour les p_i tous égaux à $\frac{\mathrm{\alpha} }{n}$. La loi de X est alors la loi binomiale de paramètres n et $p\: = \frac{\mathrm{\alpha} }{n}$.