Équations différentielles, sujet 2. D'après sujet Bac S, Métropole, septembre 2007
Énoncé
On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur ![]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m1.png)
:
:1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E0).
2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur ![]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m3.png)
et telles que f(x) = g (x) cos x.
Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E0).
et telles que f(x) = g (x) cos x.Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E0).
3. Déterminer la solution f de (E) telle que f (0) = 0.
La bonne méthode
1. Il s'agit d'une question de cours.
2. Il faut procéder avec méthode et ne pas oublier que 
.
.3. On utilise la condition initiale proposée.
Annexes
est l'ensemble des fonctions définies sur 
par 
, 
.![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m8.png)
, 
. Donc, pour tout ![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m10.png)
on a :
.
pour tout ![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m14.png)
, Donc f est solution de (E) si et seulement si pour tout ![x\in \: ]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m15.png)
, 
, si et seulement si g est solution de (E0).![]-\frac{\pi }{2}\: ;\: \frac{\pi }{2}[](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde15_m17.png)
par 
, 
. Donc il existe 
, tel que 
. Or 
.
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