Primitives. D'après sujet Bac S, Centres Étrangers, juin 2000
Énoncé
On considère la fonction f définie sur
par f (x) = e−x ln (e2x − 1). On cherche l'ensemble des primitives de f sur
. On peut utiliser l'intégration par parties. L'énoncé propose une autre méthode qui, en fait, n'est différente qu'en apparence.
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m1.png)
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m2.png)
1. Démontrer que la fonction f est solution de l'équation différentielle
.
![{y}'+\: y= \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m3.png)
2. Démontrer que quel que soit
,
.
![x\in \mathbb{R}^{*}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m4.png)
![\frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}= \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m5.png)
3. Déduire des questions précédentes l'ensemble des primitives de la fonction f sur
.
![]0\: ;\: +\infty [](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m6.png)
La bonne méthode
1. Il s'agit de démontrer que quel que soit x > 0,
.
![{f}'(x)\: +\: f(x)= \frac{2\: \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m7.png)
2. Le plus simple est de montrer que l'expression de droite est égale à l'expression de gauche. On peut également effectuer la différence des deux expressions et montrer que celle-ci est nulle.
3. Toute primitive de la dérivée d'une fonction est… Par ailleurs, une primitive d'une fonction s'écrivant sous la forme
est ln |u|.
![\frac{{u}'}{u}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde14_m8.png)
Annexes
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