Primitives. D'après sujet Bac S, Centres Étrangers, juin 2000

Énoncé

On considère la fonction f définie sur $]0\: ;\: +\infty [$ par f (x) = e^−x ln (e^2x − 1). On cherche l'ensemble des primitives de f sur $]0\: ;\: +\infty [$ . On peut utiliser l'intégration par parties. L'énoncé propose une autre méthode qui, en fait, n'est différente qu'en apparence.

1. Démontrer que la fonction f est solution de l'équation différentielle ${y}'+\: y= \frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}$ .

2. Démontrer que quel que soit $x\in \mathbb{R}^{*}$ , $\frac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}= \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$ .

3. Déduire des questions précédentes l'ensemble des primitives de la fonction f sur $]0\: ;\: +\infty [$ .

La bonne méthode

1. Il s'agit de démontrer que quel que soit x > 0, ${f}'(x)\: +\: f(x)= \frac{2\: \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}-\: 1}$ .

2. Le plus simple est de montrer que l'expression de droite est égale à l'expression de gauche. On peut également effectuer la différence des deux expressions et montrer que celle-ci est nulle.