Continuité des fonctions d'une variable réelle
Énoncé
Partie A
On considère la fonction C définie sur l'intervalle [5 ; 60] par :
![C\left ( x \right )\: =\: \frac{\mathrm{e}^{0,1x}\: +\: 20}{x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m1.png)
![C\left ( x \right )\: =\: \frac{\mathrm{e}^{0,1x}\: +\: 20}{x}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m1.png)
1. On désigne par
la dérivée de la fonction C.
Montrer que pour tout
,
.
![C{}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m2.png)
Montrer que pour tout
![x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m3.png)
![C{}'\left ( x \right )\: =\: \frac{0,1x\mathrm{e}^{0,1x}\: -\: \mathrm{e}^{0,1x}\: -\: 20}{x^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m4.png)
2.
On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par :
f(x) = 0,1x0,1x − e0,1x − 20
f(x) = 0,1x0,1x − e0,1x − 20
a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].
b. Monter que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [5 ; 60].
c. Donner un encadrement à l'unité de α.
d. En déduire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60].
3. En déduire le tableau de variations de C sur [5 ; 60].
4.
En utilisant la question précédente, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :
a. C(x) = 2.
b. C(x) = 5.
Partie B
Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec
.
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.
![x\: \in \left [ 5\, ;\, 60 \right ]](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m5.png)
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A.
Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.
La bonne méthode un+1 = f(un).
PARTIE A
1. Utiliser la dérivée d'un quotient de deux fonctions.
2.
a. Dériver la fonction f et étudier son signe.
b. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
c. Utiliser la calculatrice.
d. Faire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60].
3. Remarquer que
.
![C{}'\left ( x \right )\: =\:\frac{f\left ( x \right )}{x^{2}}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde11_m6.png)
4.
a. et b. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
PARTIE B
Utiliser les résultats de la partie A.Penser à rédiger une conclusion.
Annexes
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