Compléments sur la dérivation

Énoncé

On désigne par f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f\left ( x \right )\: =\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3$ .

1. Calculer les limites de la fonction f en $+\infty$ et en $-\infty$ .

2. Déterminer la dérivée de la fonction f.

3. Étudier les variations de la fonction f sur $\mathbb{R}$ , puis dresser son tableau de variations.

4. On note f{}''

f{}''

la fonction dérivée de f{}'

f{}'

. Déterminer $f{}''\left ( x \right )$ .

5.

a. Faire le tableau de signe de $f{}''\left ( x \right )$ .

b. En déduire les coordonnées du point d'inflexion.

c. Donner la convexité de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .

La bonne méthode

1. Développer pour obtenir $f\left ( x \right )\: =\: \frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}\:+\:\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3$ pour la limite en $+\infty$ .

2. Utiliser la dérivée du produit de deux fonctions.

3. Étudier le signe de $f{}'\left ( x \right )$ en faisant un tableau de signes.

4. Même technique que la question 2.

5.

a. Factoriser la dérivée seconde par e^−2x.

b. Chercher les valeurs qui annulent $f{}''\left ( x \right )$ .

c. Regarder le signe de $f{}''\left ( x \right )$ .

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