Compléments sur la dérivation
Énoncé
On désigne par f la fonction définie sur
par :
.
![\mathbb{R}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m1.png)
![f\left ( x \right )\: =\: \left ( 2x\: +\: 1 \right )\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m2.png)
![]() |
1. Calculer les limites de la fonction f en
et en
.
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m3.png)
![-\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m4.png)
2. Déterminer la dérivée de la fonction f.
3. Étudier les variations de la fonction f sur
, puis dresser son tableau de variations.
![\mathbb{R}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m5.png)
4. On note
la fonction dérivée de
. Déterminer
.
![f{}''](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m6.png)
![f{}'](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m7.png)
![f{}''\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m8.png)
5.
a. Faire le tableau de signe de
.
![f{}''\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m9.png)
b. En déduire les coordonnées du point d'inflexion.
c. Donner la convexité de la fonction f sur
.
![\mathbb{R}](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m10.png)
La bonne méthode
1. Développer pour obtenir
pour la limite en
.
![f\left ( x \right )\: =\: \frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}\:+\:\mathrm{e}^{-2x}\: +\: 3](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m11.png)
![+\infty](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m12.png)
2. Utiliser la dérivée du produit de deux fonctions.
3. Étudier le signe de
en faisant un tableau de signes.
![f{}'\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m13.png)
4. Même technique que la question 2.
5.
a. Factoriser la dérivée seconde par e−2x.
b. Chercher les valeurs qui annulent
.
![f{}''\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m14.png)
c. Regarder le signe de
.
![f{}''\left ( x \right )](https://static1.assistancescolaire.com/t/images/t_spemat_rde10_m15.png)
Annexes
© 2000-2024, rue des écoles