Limites des fonctions, sujet 1

Énoncé

PARTIE A
Soit f la fonction définie sur Ensemble R par f (x) = x e1−x.
1. Vérifier que pour tout réel x, on a f(x)= \mathrm{e}\times \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}.
2.  Déterminer la limite de la fonction f en -\infty.
3.  Déterminer la limite de la fonction f en +\infty. Interpréter graphiquement cette limite.
4.  Déterminer la dérivée de la fonction f.
5.  Étudier les variations de la fonction f sur Ensemble R, puis dresser le tableau de variations.
PARTIE B
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions gn et hn définies sur Ensemble R par :
gn(x) = 1 + x + x2 + … + xn et hn (x) = 1 + 2x + 3x2 + … + nxn−1.
1. Vérifier que pour tout réel x, (1 − x) gn (x) = 1 − xn+1.
On obtient alors, pour tout réel x\neq 1 : g_{x}(x)= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}.
2. Comparer les fonctions hn et {g}'_{n}, {g}'_{n} étant la dérivée de gn. En déduire que, pour tout réel x\neq 1 : h_{n}(x)= \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^{2}}.
3. Soit Sn = f (1) + f (2) + … + f (n), f étant la fonction définie dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de Sn puis sa limite quand n tend vers +\infty.
La bonne méthode
PARTIE A
1. Utiliser les règles de calcul de la fonction exponentielle.
2. Limite par produit et composition de fonctions.
3. Utiliser le résultat de la question 1, sachant que \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{e^{x}}{x}= +\infty.
4.  Dériver un produit de fonctions.
5. Étudier le signe de la dérivée et faire le tableau de variations.
PARTIE B
1.  Remplacer gn(x) et développer.
2.  Utiliser la dérivée du quotient de deux fonctions. Remarquer une égalité grâce au résultat du 1.
3.  Introduire dans Sn la fonction f (x) = x e1−x, puis remarquer l'égalité avec hn(e−1). Enfin, utiliser \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}= +\infty.

Annexes

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