Suites, sujet 2. Suite divergente. D'après sujet Bac S, Polynésie, juin 2012

Énoncé

On considère la suite (un) définie par \left\{\begin{matrix}u_{0}= 0\\\mathrm{pour\, tout}\, n\in \mathbb{N},\, u_{n+1}= 3u_{n}-2n+3\end{matrix}\right..
1. Calculer u1 et u2.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_{n}\geqslant n.
b. Justifier que la suite (un) est croissante.
c. Déterminer la limite de la suite (un).
2. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n\geqslant n_{0}, u_{n}\geqslant 10^{p} ? L'ensemble des entiers n0 tels que n\geqslant n_{0}\Rightarrow u_{n}\geqslant 10^{p} est donc un sous-ensemble non vide de Ensemble N, ce sous-ensemble admet donc un plus petit élément m0. On s'intéresse maintenant au plus petit entier m0.
3. Proposer un script en Python qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier m0 tel que n\geqslant m_{0}\Rightarrow u_{n}\geqslant 10^{p}. Déterminer à l'aide du programme cet entier m0 pour la valeur p = 3.
La bonne méthode
1. On remplace n par 0 puis par 1 dans la relation définissant la suite.
2. a. On procède, comme l'énoncé le demande, par récurrence. On prend bien soin d'argumenter correctement l'hérédité.
2. b. On évalue le signe de un+1 − un à la lumière de ce qui précède.
2. c. On utilise le théorème de comparaison.
3. Il faut revenir à la définition du résultat obtenu à la question précédente.
4. Il s'agit d'un algorithme dit de seuil, on construit une boucle tant que.

Annexes

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