Suites

Fiche

Un couple de lapins nés le premier janvier donne naissance à un autre couple de lapins, chaque mois, dès qu'il a atteint l'âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction. Combien y aura-t-il de couples de lapins le premier janvier de l'année suivante, en supposant qu'aucun couple n'ait disparu ?
Pour résoudre ce problème, le mathématicien italien Fibonacci introduit dès 1202 la notion de suite.
Ainsi, si on note u_n le nombre de couples de lapins au cours du mois (avec u₁ = 1), la suite (u_n) vérifie la relation de récurrence u_n+2 = u_n+1 + u_n. On peut alors exprimer u_n en fonction n de et prévoir le nombre de lapins au bout de quelques mois.

I. Quand utiliser un raisonnement par récurrence et comment le rédiger ?

On peut utiliser un raisonnement par récurrence chaque fois qu'une propriété à démontrer dépend d'un entier naturel n, surtout lorsqu'il semble y avoir un lien simple entre ce qui se passe au rang n et ce qui se passe au rang n+1.
Un raisonnement par récurrence se rédige en quatre étapes :

• on commence par énoncer la propriété à démontrer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie ;

• initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au rang initial (qui est souvent 0 ou 1) ;

• hérédité : on prouve le caractère héréditaire de la propriété. On suppose que la propriété est vraie pour un entier n arbitrairement fixé et on démontre que la propriété est encore vraie au rang n + 1 ;

• on conclut en invoquant le principe de récurrence.

II. Que faut-il savoir sur les suites géométriques ?

Une suite est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même facteur (la raison, notée q).
D'où la formule de récurrence donnée pour tout entier n : u_n+1 = u_n × q.
Le terme général d'une suite géométrique est : u_n = u₀ × qⁿ.
Enfin la somme des (n + 1) premiers termes d'une suite géométrique (u₀ + u₁ + … + u_n) de raison q différente de 1 est égale à : $u_{0}\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .
Pour tout réel $q\neq 1$ , on a : $1+q+...+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .

III. Que faut-il savoir sur les suites arithmétiques ?

Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant un même nombre (la raison, notée r).
D'où la formule de récurrence donnée pour tout entier n : u_n+1 = u_n + r.
Le terme général d'une suite arithmétique est : u_n = u₀ + nr.
Cas particulier : pour tout réel n, on a : $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ .
Pour démontrer qu'une suite (u_n) est arithmétique, on doit calculer u_n+1 − u_n et il faut que le résultat obtenu soit un nombre réel indépendant de n.

IV. Comment calculer la limite de qⁿ lorsque q > 0 ?

Trois cas sont possibles :

• premier cas : si 0 < q < 1, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }q^{n}=0$ ;

• deuxième cas : si q = 1, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }q^{n}=1$ ;

• troisième cas : si q > 1 alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }q^{n}=+\infty$ .

V. Comment déterminer la limite d'une suite ?

Soit (u_n) une suite géométrique de raison $q\neq 0$ . La limite de la suite (u_n) dépend de son premier terme u₀ non nul et de sa raison q.

• Pour tout réel u₀, si −1 < q < 1, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=0$ et on dit que (u_n) converge.

• Si u₀ > 0 et si q > 1, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$ et on dit que (u_n) diverge.

• Si u₀ > et si q < −1, alors la suite n'a pas de limite.

• Si u₀< 0 et si q > 1, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=-\infty$ et on dit que (u_n) diverge.

• Si u₀< 0 et si q < −1, alors la suite n'a pas de limite.

Pour étudier la limite d'une suite, on peut exprimer le terme général de la suite en fonction de n et déterminer la limite de ce terme en faisant tendre n vers l'infini.
On peut aussi utiliser les théorèmes de limite par comparaison :

• 1^er cas : Si u_n inférieur ou égal

v_n et $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=-\infty$ , alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=-\infty$ .

• 2^e cas : Si u_n inférieur ou égal

v_n et $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$ , alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=+\infty$ .

• 3^e cas (Théorème des gendarmes) : Si u_n inférieur ou égal

w_n

v_n et $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=L$ , alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }w_{n}=L$ .

Enfin, on sait que :

• Toute suite croissante majorée est convergente.

• Toute suite décroissante minorée est convergente.

• Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

VI. Comment calculer la limite de la somme des premiers termes d'une suite géométrique ?

Exemple : Déterminer la limite de $S=1+\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+...+\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}$ .
1^re étape : On voit la somme des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique (u_n) de premier terme u₀ = 1 et de raison $q=\frac{1}{2}$ .
On sait que : $S=u_{0}\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .
Donc $S=1\times \frac{1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1-\left (\frac{1}{2} \right )^{n+1}}{\frac{1}{2}}=2\times \left ( 1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n+1} \right )=2-\left (\frac{1}{2} \right )^{n}$ .
2^e étape : Comme $0<\frac{1}{2}<1$ , on a $\lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}=0$ .
3^e étape : Donc $\lim_{n\rightarrow +\infty }S=2-\lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}=2$ .
Propriété :
Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u₀ et raison q telle que 0 < q < 1.
Soit S la somme des n + 1 premiers termes de la suite (u_n). Alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }S=\frac{u_{0}}{1-q}$ .

VII. Qu'est-ce qu'une suite arithmético-géométrique ?

Définition : On dit qu'une suite (u_n) est une suite arithmético-géométrique s'il existe deux réels a et b tels que : u₀ étant donné, on a pour tout entier n : u_n+1 = au_n + b.
Exemple : En 2000, la population d'une ville était de 5 200 habitants.
Chaque année, la population augmente de 2 % mais 150 habitants quittent la ville.
On note u₀ le nombre d'habitants en 2000, et u_n le nombre d'habitants en 2000 + n.
Démontrer que la suite (u_n) est une suite arithmético-géométrique.
On sait qu'une augmentation de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de : $1+\frac{2}{100}=1,02$ .
On a u₀ = 5 200 et pour tout entier n : u_n+1 = 1,02u_n − 150.
La suite (u_n) est donc une suite arithmético-géométrique.
Cas particuliers :

• Si b = 0 et $a\neq 0$ , alors la suite est une suite géométrique de raison a ;

• Si a = 1, alors la suite est une suite arithmétique de raison b.

VIII. Algorithmique

Étant donnée une suite (qⁿ) avec 0 < q < 1, on veut élaborer un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir duquel qⁿ < a, où a est un réel positif donné.
Déterminer un seuil revient à déterminer le plus petit entier n tel que qⁿ < a.
La condition d'arrêt revient à continuer à calculer qⁿ tant que qⁿ supérieur ou égal

a.
On a donc l'algorithme :
Entrées
Saisir a (nombre réel strictement positif)
Saisir q (nombre réel strictement compris entre 0 et 1)
Initialisation
n prend la valeur 0
Traitement
Tant que : qⁿ supérieur ou égal

a
n prend la valeur n + 1
Fin de tant que
Sortie
Afficher n

Exemple :
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par : u_n = 0,9n.
(u_n) est strictement décroissante, car 0 < q < 1 et u₀ = 0,9.
Pour déterminer le plus petit entier naturel n tel que u_n < 0,01, on exécute le programme. Dans l'algorithme, on tape seuil (0, 01, 0,9) et on obtient 44.

Histoire des mathématiques : suites numériques

• Archimède a défini dans les années 220 av. J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π.

• Héron d'Alexandrie au i^er siècle après J.-C. utilise un algorithme de calcul qui fournit une suite de valeurs approchées de plus en plus précises de la racine carrée d'un nombre.

• Léonard de Pise (Fibonacci) expose au xiii^e siècle sa célèbre suite.

• Nicolas Oresme, mathématicien français du xiv^e siècle a étudié les suites arithmétiques et géométriques, et la somme des termes de certaines d'entre elles.

• L'idée de fonction est plus récente (xvii^e siècle). Les mathématiciens ont alors montré qu'une suite est une fonction particulière.

• Augustin Cauchy, mathématicien français du xix^e siècle a posé les fondements rigoureux de la théorie des suites.

• La conjecture de Syracuse (xx^e siècle) montre une suite avec un comportement particulier, non encore démontré à ce jour.

• Les fractales sont apparues au xix^e siècle, et le français Benoit Mandelbrot en fait, dans les années 1970, l'objet d'une nouvelle discipline mathématique : la géométrie fractale.

Zoom sur… les limites des suites

Limite d'une somme

Si $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=$	l	l	l	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$
Si $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=$	l'	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
Si $\lim_{n\rightarrow +\infty }(u_{n}+v_{n})=$	l + l'	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	?	$-\infty$

Limite d'un produit

Si $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=$	l	$\textrm{l}\neq 0$	$\textrm{l}\neq 0$	0	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$
Si $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=$	l'	$+\infty$	$-\infty$	$\pm \infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
Alors $\lim_{n\rightarrow +\infty }(u_{n}\times v_{n})=$	l × l'	$\pm \infty$	$\pm \infty$	?	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$

Limite d'un inverse

$\lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=$	$\textrm{l}\neq 0$	0⁺	0⁻	$\pm \infty$
$\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{v_{n}}=$	$\frac{1}{\textrm{l}}$	$+\infty$	$-\infty$	0

Limite d'un quotient

On a : $\frac{u_{n}}{v_{n}}=u_{n}\times \frac{1}{v_{n}}$ , donc on revient à la règle du produit.

Théorème de limites par comparaison

• Si u_n