L'étude de la position relative de droites et de plans dans l'espace se poursuit, et on étend le produit scalaire à l'espace en conservant les propriétés du produit scalaire dans le plan.
Dans tout le chapitre, on munit l'espace du repère .
Dans tout le chapitre, on munit l'espace du repère .
I. Quelles sont les propriétés des coordonnées d'un vecteur dans l'espace ?
Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet de réels (x, y, z) tels que .
Pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet de réels (x, y, z) tels que .
Propriétés :
Soient , deux vecteurs de l'espace, et k un réel.
Pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet de réels (x, y, z) tels que .
Propriétés :
Soient , deux vecteurs de l'espace, et k un réel.
• La somme des deux vecteurs et se note : .
• Le produit du vecteur par le scalaire k se note : .
Soient et deux points de l'espace.
• Le vecteur a pour coordonnées .
• Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées .
Exemple : Soit le pavé droit ABCDEFGH. est un repère de l'espace. On a, par exemple, A (0, 0, 0) ; C (1, 1, 0) ; G (1, 1, 1). Le vecteur a pour coordonnées (1, 0, 1). Le milieu de [FG] a pour coordonnées (1 ; 0,5 ;1).
II. Quelles sont les propriétés du produit scalaire ?
Soient et deux vecteurs de l'espace, et les points A, B et C tels que et , avec les points A, B et C coplanaires. Le produit scalaire de et (noté ) est le réel .
Propriétés : On munit l'espace d'un repère orthonormé.
Propriétés : On munit l'espace d'un repère orthonormé.
• Soient et deux vecteurs de l'espace, alors : .
• Soient deux vecteurs et . On a : .
• On obtient alors également : .
Exemples : Soit un cube ABCDEFGH et I le milieu de [EF]. est un repère orthonormé de l'espace.
On a, par exemple, I (0,5 ; 0 ; 1), A (0, 0, 0), B (1, 0, 0) et H (0, 1, 1).
On a, par exemple, I (0,5 ; 0 ; 1), A (0, 0, 0), B (1, 0, 0) et H (0, 1, 1).
• On a alors : et .
• On peut calculer .
On a : et . Alors et .
• On a alors et .
• On peut donc calculer .
III. Comment caractériser l'orthogonalité entre deux vecteurs ?
Propriétés : On munit l'espace d'un repère orthonormé.
Soient et deux vecteurs de l'espace, et trois points A, B et C tels que et .
On dit que les vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si :
Soient et deux vecteurs de l'espace, et trois points A, B et C tels que et .
On dit que les vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si :
• les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires lorsque les points A, B et C sont dans le même plan ;
• le produit scalaire entre les vecteurs et est nul : .
Exemple : Soit un cube ABCDEFGH.
• Les vecteurs et sont orthogonaux, car les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires et dans le même plan (ABF).
• Les vecteurs et sont également orthogonaux, car et . Donc .
IV. Comment caractériser la distance entre deux points dans l'espace ?
Propriété : La distance AB entre les deux points A à B est égale à .Exemple : Soit ABCD un tétraèdre et I milieu de [BC]. Soit un repère orthonormé de l'espace.
On a D (0, 0, 1) et I (0,5 ; 0,5 ; 0). Ainsi .
V. Que faut-il retenir sur les mesures d'angle ?
Propriété : Soient et deux vecteurs de l'espace, et les points A, B et C tels que et .Le produit scalaire des deux vecteurs et est aussi donné par la formule : .
Exemple : Soit un cube ABCDEFGH et I milieu de [BF]. est un repère orthonormé de l'espace.
et . Alors et et .
D'une part, .
D'autre part, .
Alors, d'où et .
VI. Que faut-il retenir sur la notion de vecteur normal ?
Propriété : Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul. Un vecteur non nul est un vecteur normal d'un plan P de vecteurs directeurs et si et seulement s'il est orthogonal aux vecteurs et .Exemple : La notion de vecteur normal permet d'interpréter vectoriellement l'orthogonalité de droites et de plans. Elle permet aussi de déterminer une équation cartésienne d'un plan dans un repère orthonormal de l'espace, en s'appuyant sur la propriété suivante : le plan passant par A et de vecteur normal est l'ensemble des points M de l'espace tels que .
VII. Comment caractériser l'intersection entre une droite et un plan ?
Propriété : On étudie la position relative d'une droite D passant par le point A, de vecteur directeur et d'un plan P de vecteur normal .
Si et sont orthogonaux, alors la droite D est parallèle au plan P.
Si et sont orthogonaux, alors la droite D est parallèle au plan P.
• Si, en outre, le point A appartient au plan P, alors la droite D est incluse dans le plan P.
• Sinon, la droite D est strictement parallèle au plan P, et leur intersection est vide.
Si et ne sont pas orthogonaux, alors la droite D et le plan P sont sécants, et leur intersection est un point.
• Si, par ailleurs, et sont colinéaires, alors la droite D est orthogonale au plan P.
VIII. Comment caractériser l'intersection de deux plans ?
Propriété : On considère deux plans P et P' de vecteurs normaux respectifs et .
P et P' sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires.
P et P' sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires.
• Soit P et P' sont confondus, et leur intersection est un plan.
• Soit P et P' sont strictement parallèles, et leur intersection est vide.
Sinon P et P' sont sécants et leur intersection est une droite.
IX. Comment caractériser la projection orthogonale dans l'espace ?
Propriété : On munit l'espace d'un repère orthonormé. Soient A, B et C trois points de l'espace et H le projeté orthogonal du point B sur la droite (AC).
• si les vecteurs et ont le même sens.
• si les vecteurs et sont de sens contraires.
Exemple : Soit un cube ABCDEFGH et I milieu de [BF]. est un repère orthonormé de l'espace.
On a I (1 ; 0 ; 0,5), A (0, 0, 0) et B (1, 0, 0). De plus, on a : AB = 1 et .
Le projeté orthogonal de I sur la droite (AB) est le point B.
Donc .
Conséquence : Soit A un point de l'espace et H le projeté orthogonal du point A sur le plan P de vecteur directeur . Alors et sont orthogonaux, et donc .
On a I (1 ; 0 ; 0,5), A (0, 0, 0) et B (1, 0, 0). De plus, on a : AB = 1 et .
Le projeté orthogonal de I sur la droite (AB) est le point B.
Donc .
Conséquence : Soit A un point de l'espace et H le projeté orthogonal du point A sur le plan P de vecteur directeur . Alors et sont orthogonaux, et donc .
Zoom sur… les propriétés du produit scalaire
Propriété : Formule principale (formule la plus utilisée géométriquement)
Soient et deux vecteurs de l'espace, et les points A, B et C tels que et .
Le produit scalaire des deux vecteurs et est aussi donné par la formule : .
Propriétés : Soient , et trois vecteurs de l'espace, et k un réel.
Soient et deux vecteurs de l'espace, et les points A, B et C tels que et .
Le produit scalaire des deux vecteurs et est aussi donné par la formule : .
Propriétés : Soient , et trois vecteurs de l'espace, et k un réel.
• Symétrie du produit scalaire : .
• Bilinéarité du produit scalaire : .
• Distributivité du produit scalaire : .
• Le carré scalaire du vecteur est : .
Propriétés : Formules de polarisation
Propriétés : Soient et deux vecteurs de l'espace.
Propriétés : Soient et deux vecteurs de l'espace.
• Si l'un des deux vecteurs est nul, alors leur produit scalaire est égal à 0.
• et sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à 0.
• S'ils sont non nuls et colinéaires, alors : .
Propriétés géométriques : Soient et deux vecteurs de l'espace.
• La droite D de vecteur directeur et la droite D' de vecteur directeur sont orthogonales si .
• La sphère de diamètre [AB] est l'ensemble des points M de l'espace tels que : .