Règle
On sait que la multiplication est distributive par rapport à l'addition , c'est-à-dire que :
k × (a + b) = k × a + k × b.
k × (a + b) = k × a + k × b.
Cette égalité peut être utilisée :
• pour développer, c'est-à-dire transformer un produit en somme ;
6 × (7 + 10) = 6 × 7 + 6 × 10 = 42 + 60 = 102
6 × (7 + 10) = 6 × 7 + 6 × 10 = 42 + 60 = 102
• pour factoriser, c'est-à-dire transformer une somme en produit.
6 × 7 + 6 × 10 = 6 × (7 + 10) = 6 × 17 = 102
6 × 7 + 6 × 10 = 6 × (7 + 10) = 6 × 17 = 102
Remarques
• 1) Pour factoriser, il faut repérer un facteur commun.
A = 4 × 2 + 5 × 4 + 19 × 4
A = 4 × 2 + 5 × 4 + 19 × 4
- Le nombre 4 est un facteur commun aux trois termes de la somme.
- On le met en facteur :
• 2) Factoriser permet d'écrire plus simplement (de réduire) une expression algébrique.
5a + 3a = (5 + 3)a = 8a
5a + 3a = (5 + 3)a = 8a
• 3) Comme la multiplication est également distributive par rapport à la soustraction, on peut de la même façon transformer un produit en une différence (développement) ou une différence en un produit (factorisation).
Exercice n°1
Complète les égalités suivantes en factorisant.
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
a. 7 × 2 + 7 × 18 = 7 × ( + )
b. 12 × 71 − 12 × 53 = × ( − )
c. 7 × 17 + 17 × 31 = × ( + )
d. 61 × 12 − 12 × 16 = × ( − )
b. 12 × 71 − 12 × 53
On met donc 12 en facteur.
On met donc 12 en facteur.
c. 7 × 17 + 17 × 31
On met donc 17 en facteur.
On met donc 17 en facteur.
d. 61 × 12 − 12 × 16
On met donc 12 en facteur.
On met donc 12 en facteur.
Exercice n°2
Factorise les deux premières expressions, puis réduis les deux dernières.
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
a. 7 × 2 − 7 × 8 − 3 × 7 = × ( − − )
b. 9 × 7 + 3 × 9 − 9 × 9 = ( + − ) ×
c. 7b + 4b = ( + )b = b
d. 9a + 6b + 7a + 8b = a + b
a. 7 × 2 − 7 × 8 − 3 × 7
On met donc 7 en facteur.
On met donc 7 en facteur.
c. 7b + 4b = 7 × b + 4 × b
7b + 4b = (7 + 4) × b = 11b.
7b + 4b = (7 + 4) × b = 11b.
d. 9 × a + 7 × a + 6 × b + 8 × b
= (9 + 7) × a + (6 + 8) × b
= 16a + 14b.
= (9 + 7) × a + (6 + 8) × b
= 16a + 14b.
Exercice n°3
Coche la réponse exacte.
a. Lorsqu'on écrit 4 × (3 − x) = 12 − 4x :
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
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b. Pour factoriser l'expression 3x + 3 × 5, on écrit :
Cochez la bonne réponse.
| ||
| ||
|
a. On transforme le produit en différence : on développe.
b. 3x + 3 × 5 = 3 (x + 5)
C'est 3 qui est le facteur commun.
C'est 3 qui est le facteur commun.
Exercice n°4
Coche la bonne réponse.
L'expression factorisée du périmètre d'un rectangle de longueur L et largeur l est 2 × L + 2 × l.
Cochez la bonne réponse.
| ||
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2 × (a + b - 2) = 2a + 2b − 4
Cochez la bonne réponse.
| ||
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45 + 15a + 5 = 5 × (9 + 3a)
Cochez la bonne réponse.
| ||
|
Une expression factorisée est l'écriture d'un produit.
• L'expression factorisée est 2 × (L + l).
• 2 × (a + b − 2) = 2 × a + 2 × b − 2 × 2 = 2a + 2b - 4.
• 5 + 15a + 5 = 5 × 9 + 5 × 3a + 5 × 1 = 5 × (9 + 3a + 1).
