Sujet de métropole, juin 2016, exercice 6

Énoncé

7 points

Avec des ficelles de 20 cm, on construit des polygones comme ci-dessous :

Méthode de construction des polygones

Partie 1

Dans cette partie, on découpe à l'étape 1 une ficelle pour que le « morceau nº 1 » mesure 8 cm.

Dessiner en grandeur réelle les deux polygones obtenus.

Pour connaître le côté du carré construit avec le « morceau nº 1 », exprimez le côté d'un carré en fonction de son périmètre.
Pour connaître le côté du triangle équilatéral construit avec le « morceau nº 2 », exprimez le côté d'un triangle équilatéral en fonction de son périmètre.

Calculer l'aire du carré obtenu.

Rappelez-vous que l'aire d'un carré de côté c est c².

Estimer l'aire du triangle équilatéral obtenu en mesurant sur le dessin.

Tracez la hauteur de ce triangle équilatéral pour pouvoir la mesurer.

Partie 2

Dans cette partie, on cherche maintenant à étudier l'aire des deux polygones obtenus à l'étape 3 en fonction de la longueur du « morceau nº 1 ».

Proposer une formule qui permet de calculer l'aire du carré en fonction de la longueur du « morceau nº 1 ».

Notez x la longueur (en cm) du « morceau nº 1 » et exprimez le côté d'un carré en fonction de son périmètre, puis son aire en fonction de son périmètre.

Sur le graphique ci-dessous :

la courbe A représente la fonction qui donne l'aire du carré en fonction de la longueur du « morceau nº 1 » ;
la courbe B représente la fonction qui donne l'aire du triangle équilatéral en fonction de la longueur du « morceau nº 1 ».

En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Aucune justification n'est attendue.

Quelle est la longueur du « morceau nº 1 » qui permet d'obtenir un triangle équilatéral d'aire 14 cm² ?

Vous devez trouver cette valeur à l'aide de la courbe B.

Quelle est la longueur du « morceau nº 1 » qui permet d'obtenir deux polygones d'aires égales ?

Il s'agit de déterminer l'abscisse du point d'intersection des courbes A et B.

Voir le corrigé

Corrigé

Partie 1

1. Le « morceau nº 1 » mesure 8 cm et le côté d'un carré mesure le quart de son périmètre, donc le carré obtenu avec le « morceau nº 1 » est un carré de côté 2 cm.
Le « morceau nº 2 » mesure 20 − 8 = 12 cm et le côté d'un triangle équilatéral mesure le tiers de son périmètre, donc le triangle équilatéral obtenu avec le « morceau nº 2 » est un triangle équilatéral de côté 12 ÷ 3 = 4 cm.

2. D'après la question précédente, le carré construit avec le « morceau nº 1 » est un carré de côté 2 cm.
L'aire de ce carré est donc 2 × 2 = 4 cm².

La hauteur de ce triangle équilatéral mesure 3,5 cm au dixième près, donc son aire est d'environ $\frac{3,5\times4}{2}$ = 3,5 × 2 = 7 cm².

Partie 2

1. Notons x la longueur (en cm) du « morceau nº 1 ». On a 0 < x < 20.
Cette longueur correspond au périmètre du carré construit avec le « morceau nº 1 », donc le côté de ce carré est $\frac{x}{4}$ .
L'expression du côté du carré en fonction de x étant $\frac{x}{4}$ , l'aire de ce carré a pour expression ${(\frac{x}{4})}^2$ = $\frac{x^2}{16}$ .

a) La longueur du « morceau nº 1 » qui permet d'obtenir un triangle équilatéral d'aire 14 cm² est l'antécédent de 14 par la fonction représentée graphiquement par la courbe B.
Graphiquement, cette longueur est d'environ 3 cm. (Voir le graphique ci-dessous.)

b) La longueur du « morceau nº 1 » qui permet d'obtenir deux polygones d'aires égales est l'abscisse du point d'intersection des courbes A et B.
Graphiquement, cette longueur est d'environ 9,3 cm. (Voir le graphique ci-dessous.)