Sujet zéro du ministère, 2017, exercice 5

Énoncé

Pour régler les feux de croisement d'une automobile, on la place face à un mur vertical. Le phare, identifié au point P, émet un faisceau lumineux dirigé vers le sol.

On relève les mesures suivantes : PA = 0,7 m, AC = QP = 5 m et CK = 0,61 m.

Sur le schéma ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle, le point S représente l'endroit où le rayon supérieur du faisceau rencontrerait le sol en l'absence du mur.

On considère que les feux de croisement sont bien réglés si le rapport $\frac{\mathrm{QK}}{\mathrm{QP}}$ est compris entre 0,015 et 0,02.

Vérifier que les feux de croisement de la voiture sont bien réglés.

Remarquez que QK = QC − CK.

À quelle distance maximale de la voiture un obstacle se trouvant sur la route est-il éclairé par les feux de croisement ?

Remarquez qu'il s'agit de calculer la longueur AS et pensez à utiliser le théorème de Thalès ou la trigonométrie.

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Corrigé

D'après les illustrations, on a : QK = QC − CK = PA − CK = 0,7 − 0,61 = 0,09.
On a donc : $\frac{\mathrm{QK}}{\mathrm{QP}}$ = $\frac{0,09}{5}$ = 0,18.

Les feux de croisement de la voiture sont réglés avec une inclinaison de 0,018.
0,015 < 0,018 < 0,02 donc ils sont bien réglés.

La distance maximale de la voiture qu'éclairent les feux de croisement sur la route est la longueur AS.
Calculons-la par trois méthodes différentes.

Méthode 1 : à l'aide de l'angle $\widehat{\mathrm{QPK}}$

Les droites (PQ) et (AS) sont parallèles.
Les angles $\widehat{\mathrm{QPK}}$ = $\widehat{\mathrm{QPS}}$ et $\widehat{\mathrm{PSA}}$ sont donc alternes internes et égaux.

Dans le triangle PAS rectangle en A, on a :
tan ( $\widehat{\mathrm{PSA}}$ ) = $\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AS}}$ = $\frac{0,7}{\mathrm{AS}}$ .

Dans le triangle PQK rectangle en Q, on a :
tan ( $\widehat{\mathrm{QPK}}$ ) = $\frac{\mathrm{QK}}{\mathrm{QP}}$ = 0,018 d'après la question 1.

$\widehat{\mathrm{QPK}}$ = $\widehat{\mathrm{PSA}}$ donc tan ( $\widehat{\mathrm{PSA}}$ ) = tan ( $\widehat{\mathrm{QPK}}$ ), puis $\frac{0,7}{\mathrm{AS}}$ = 0,018 et AS = $\frac{0,7}{0,018}\approx$ 38,89 m au centimètre près.

Méthode 2 : à l'aide du théorème de Thalès (configuration n° 1)

Dans le triangle PAS, K $\in$ [PS], C $\in$ [AS] et les droites (KC) et (PA) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès :
$\frac{\mathrm{SC}}{\mathrm{SA}}$ = $\frac{\mathrm{SK}}{\mathrm{SP}}$ = $\frac{\mathrm{KC}}{\mathrm{PA}}$ , donc en particulier $\frac{\mathrm{SC}}{\mathrm{SA}}$ = $\frac{\mathrm{CK}}{\mathrm{PA}}$ .

CK = 0,61, PA = 0,7 et, en notant SC = x, on a AS = x + 5.
On a donc :
$\frac{x}{x+5}$ = $\frac{0,61}{0,7}$
0,7x = 0,61(x + 5)
0,7x − 0,61x = 0,61 × 5 = 3,05
0,09x = 3,05
x = $\frac{3,05}{0,09}.$
AS = x + 5 = $\frac{3,05}{0,09}$ + 5 $\approx$ 38,89 m au centimètre près.

Méthode 3 : à l'aide du théorème de Thalès (configuration n° 2 dite « en papillon »)

K $\in$ [PS], K $\in$ [QC] et les droites (PQ) et (CS) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès :
$\frac{\mathrm{KQ}}{\mathrm{KC}}$ = $\frac{\mathrm{KP}}{\mathrm{KS}}$ = $\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{CS}}$ , donc en particulier $\frac{\mathrm{KQ}}{\mathrm{KC}}$ = $\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{CS}}$ .

KQ = 0,09, KC = 0,61, PQ = 5, donc :
$\frac{0,09}{0,61}$ = $\frac{5}{\mathrm{CS}}$ ;
CS = $\frac{5\times 0,61}{0,09}$ = $\frac{3,05}{0,09}$ puis :
AS = AC + CS = $\frac{3,05}{0,09}$ + 5 $\approx$ 38,89 m au centimètre près.